수열과 급수

단계별 풀이

1. 1

   수열

   첫째 항 a₁ = 3, 공차 d = 5/2인 등차수열: 각 항은 바로 앞 항에 d를 더한 값입니다.

   $$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$$
2. 2

   첫 몇 항

   k = 1, …, 5에 대해 a_k = a_1 + (k − 1)·d를 적용합니다:

   • a₁ = 3
   • a₂ = 11/2
   • a₃ = 8
   • a₄ = 21/2
   • a₅ = 13
3. 3

   n번째 항

   공식에 n = 10을 대입합니다:

   $$a_{10} = 3 + (10 - 1) \cdot \frac{5}{2} = \frac{51}{2}$$
4. 4

   부분합

   앞의 10개 항을 더합니다. 첫 항과 마지막 항을 짝지으면 (가우스의 방법) 합은 항의 개수에 첫 항과 마지막 항의 평균을 곱한 것과 같음을 알 수 있습니다.

   $$\begin{aligned} S_n &= \frac{n(a_1 + a_n)}{2} \\ S_{10} &= \frac{10 \cdot (3 + \frac{51}{2})}{2} = \frac{285}{2} \end{aligned}$$
5. 5

   결과

   a₁₀ = 51/2이고 S₁₀ = 285/2 — 둘 다 정확한 분수입니다.

   $$a_{10} = \frac{51}{2}, \qquad S_{10} = \frac{285}{2}$$