복리 계산기

단계별 풀이

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   입력 확인

   복리에서는 매 기간의 수익이 잔액에 더해져 다음 기간에 이자에 이자가 붙습니다. 입력값은 아래와 같습니다.

   $$A = P \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$$

   • P = 1000
   • r = 5%
   • t = 10
   • n = 1
2. 2

   연 이자율을 분수로 변환

   연 이자율 5%은(는) 정확한 분수 1/20(이)가 됩니다. 이후 주기 계산은 모두 분수로 진행됩니다.

   $$5\% = \frac{5}{100} = \frac{1}{20}$$
3. 3

   기간 이자율과 성장 밑수

   연 1회 복리에서는 매 기간 정확한 기간 이자율 i = 1/20이(가) 적용됩니다. 성장 밑수는 B = 1 + i 입니다.

   $$i = \frac{r}{n} = \frac{1}{20}, \qquad B = 1 + i = \frac{21}{20}$$
4. 4

   복리 기간 수 세기

   연 1회 × 10년이므로 복리 기간은 모두 N = 10회입니다.

   $$N = n \cdot t = 1 \cdot 10 = 10$$
5. 5

   원금 불리기

   거듭제곱 B^N은 BigInt 분자와 분모로 정확하게 전개됩니다 — 부동소수점 반올림 없음 — 불어난 원금은 약 1,628.89입니다.

   $$A_P = P \cdot B^{N} = 1000 \cdot \left(\frac{21}{20}\right)^{10} \approx 1628.89$$
6. 6

   총액

   최종 금액은 불어난 원금과 불어난 적립금의 합으로 약 1,628.89입니다.

   $$A = A_P \approx 1628.89$$
7. 7

   얻은 이자

   투입한 총액을 빼면 수익이 남습니다: 원금 1,000.00, 적립금 0.00에 대해 이자는 약 628.89입니다.

   $$\text{interest} = A - P \approx 628.89$$
8. 8

   실효 연간 이자율

   연 1회보다 자주 복리하면 명목 이자율을 앞섭니다. 동일한 연 1회 성장이 EAR = B^n − 1이며 분수로 정확히 계산되고 약 5%/년입니다.

   $$\text{EAR} = B^{n} - 1 = \left(\frac{21}{20}\right)^{1} - 1 \approx 5\%$$

   • EAR = 1/20 ≈ 5%
9. 9

   배가 기간

   B^(n·t) = 2를 로그로 풀면 배가 기간이 나옵니다: 약 14.21년. 72의 법칙(72 ÷ 백분율 이자율)은 14.4년으로 어림합니다.

   $$t_{\text{double}} = \frac{\ln 2}{n \cdot \ln B} = \frac{\ln 2}{1 \cdot \ln\left(\frac{21}{20}\right)} \approx 14.21$$

   • 72 / 5 ≈ 14.4