기술통계

단계별 풀이

1. 1

   데이터

   값이 7개이며 오름차순으로 정렬했습니다.

   $$4, 5, 6, 8, 8, 8, 9$$
2. 2

   합과 평균

   모든 값을 더한 뒤 그 합을 n = 7으로 나눕니다.소수 근삿값: 48/7 ≈ 6.857143.

   $$\begin{aligned} \sum_{i=1}^{7} x_i &= 4 + 5 + 6 + 8 + 8 + 8 + 9 = 48 \\ \mu &= \frac{48}{7} = \frac{48}{7} \end{aligned}$$
3. 3

   중앙값

   값의 개수가 홀수이면 중앙값은 한가운데 값입니다 — 7개 중 4번째.

   $$\tilde{x} = 8$$
4. 4

   최빈값

   값 8이(가) 3번 나타났습니다 — 다른 어떤 값보다 자주 나타나므로 최빈값입니다.

   $$\text{mode} = 8$$

   • 8: 3번 나타남
5. 5

   범위

   범위는 최댓값과 최솟값의 차입니다.

   $$R = x_{\max} - x_{\min} = 9 - 4 = 5$$
6. 6

   모분산 σ²

   평균으로부터의 편차를 각각 제곱한 뒤, 제곱된 편차들을 모두 더하고 n = 7으로 나눕니다.

   $$\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu)^2}{n} = \frac{\frac{146}{7}}{7} = \frac{146}{49}$$

   • (4 − 48/7)² = 400/49
   • (5 − 48/7)² = 169/49
   • (6 − 48/7)² = 36/49
   • (8 − 48/7)² = 64/49
   • (8 − 48/7)² = 64/49
   • (8 − 48/7)² = 64/49
   • (9 − 48/7)² = 225/49
7. 7

   표본분산 s²

   더 큰 모집단에서 뽑은 표본의 경우, n 대신 n − 1 = 6으로 나누면 (베셀의 보정) 모분산의 불편추정치를 얻을 수 있습니다.

   $$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu)^2}{n - 1} = \frac{\frac{146}{7}}{6} = \frac{73}{21}$$

   • (4 − 48/7)² = 400/49
   • (5 − 48/7)² = 169/49
   • (6 − 48/7)² = 36/49
   • (8 − 48/7)² = 64/49
   • (8 − 48/7)² = 64/49
   • (8 − 48/7)² = 64/49
   • (9 − 48/7)² = 225/49
8. 8

   표준편차

   표준편차는 분산의 제곱근입니다. 일반적으로 무리수가 되므로 소수 근삿값만 표시합니다.

   $$\begin{aligned} \sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{\frac{146}{49}} \approx 1.726149 \\ s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{73}{21}} \approx 1.864454 \end{aligned}$$
9. 9

   사분위수

   Q1은 아래쪽 절반(정렬한 값 중 앞 3개)의 중앙값이고, Q3은 위쪽 절반(정렬한 값 중 뒤 3개)의 중앙값입니다 — 한가운데 값은 어느 절반에도 속하지 않습니다.

   $$Q_1 = 5, \qquad Q_3 = 8$$
10. 10

    결과

    평균 48/7 ≈ 6.857143, 중앙값 8, 최빈값 8, 모표준편차 σ ≈ 1.726149.

    $$\mu = \frac{48}{7}, \quad \tilde{x} = 8, \quad \sigma^2 = \frac{146}{49}, \quad \text{mode} = 8$$