Diagonalizzazione di matrici
Scrivi A come P D P⁻¹, dove D è diagonale (gli autovalori) e le colonne di P sono gli autovettori. Esatta quando gli autovalori sono razionali.
Diagonalizzabile
A = P D P⁻¹ è mostrato qui sotto.
Matrice di input A3×3
Interi, negativi, decimali o frazioni (es. 3, -2, 1/2). Le celle vuote valgono 0.
Risultato esatto
Tutti gli autovalori sono razionali, quindi P, D e P⁻¹ sono esatte.
P (autovettori)
1
0
0
0
1
0
0
0
1
D (autovalori)
0
0
0
P⁻¹
1
0
0
0
1
0
0
0
1
A = P · D · P⁻¹
Soluzione passo per passo
- 1
Polinomio caratteristico
Calcola p(λ) = det(λI − A) con l'algoritmo di Faddeev-LeVerrier. Ogni coefficiente è costruito dalle tracce di prodotti di matrici calcolati esattamente, quindi non ci sono arrotondamenti.
- p(λ) = λ^3
- 2
Cerca radici razionali
Applica il teorema della radice razionale: ogni radice razionale p/q (in termini minimi) ha p ∣ termine noto e q ∣ coefficiente direttore. Radici trovate: 0 (×3).
- λ = 0, algebraic multiplicity 3
- 3
Autospazio di λ = 0
Risolvi (A − 0 I)v = 0 con eliminazione gaussiana. Molteplicità algebrica 3, molteplicità geometrica 3. Base: (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1).
- 4
Riepilogo
A è diagonalizzabile: i suoi autovettori formano una base di ℝ^3, quindi A = P D P⁻¹.