Statistica descrittiva

Soluzione passo per passo

1. 1

   I dati

   7 valori, ordinati in senso crescente.

   $$4, 5, 6, 8, 8, 8, 9$$
2. 2

   Somma e media

   Somma tutti i valori, poi dividi la somma per n = 7. Approssimazione decimale: 48/7 ≈ 6.857143.

   $$\begin{aligned} \sum_{i=1}^{7} x_i &= 4 + 5 + 6 + 8 + 8 + 8 + 9 = 48 \\ \mu &= \frac{48}{7} = \frac{48}{7} \end{aligned}$$
3. 3

   Mediana

   Con un numero dispari di valori, la mediana è il valore centrale — posizione 4 su 7.

   $$\tilde{x} = 8$$
4. 4

   Moda

   Il valore 8 compare 3 volte — più spesso di ogni altro valore, quindi è la moda.

   $$\text{mode} = 8$$

   • 8 compare 3 volte
5. 5

   Campo di variazione

   Il campo di variazione è la differenza tra il valore più grande e il più piccolo.

   $$R = x_{\max} - x_{\min} = 9 - 4 = 5$$
6. 6

   Varianza della popolazione σ²

   Eleva al quadrato ogni scarto dalla media, somma i quadrati e dividi per n = 7.

   $$\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu)^2}{n} = \frac{\frac{146}{7}}{7} = \frac{146}{49}$$

   • (4 − 48/7)² = 400/49
   • (5 − 48/7)² = 169/49
   • (6 − 48/7)² = 36/49
   • (8 − 48/7)² = 64/49
   • (8 − 48/7)² = 64/49
   • (8 − 48/7)² = 64/49
   • (9 − 48/7)² = 225/49
7. 7

   Varianza campionaria s²

   Per un campione di una popolazione più ampia, dividere per n − 1 = 6 invece che per n (correzione di Bessel) dà una stima non distorta della varianza della popolazione.

   $$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu)^2}{n - 1} = \frac{\frac{146}{7}}{6} = \frac{73}{21}$$

   • (4 − 48/7)² = 400/49
   • (5 − 48/7)² = 169/49
   • (6 − 48/7)² = 36/49
   • (8 − 48/7)² = 64/49
   • (8 − 48/7)² = 64/49
   • (8 − 48/7)² = 64/49
   • (9 − 48/7)² = 225/49
8. 8

   Deviazioni standard

   La deviazione standard è la radice quadrata della varianza. È in generale irrazionale, quindi si mostra solo un'approssimazione decimale.

   $$\begin{aligned} \sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{\frac{146}{49}} \approx 1.726149 \\ s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{73}{21}} \approx 1.864454 \end{aligned}$$
9. 9

   Quartili

   Q1 è la mediana della metà inferiore (primi 3 valori ordinati) e Q3 la mediana della metà superiore (ultimi 3 valori ordinati) — il valore centrale non appartiene a nessuna delle due metà.

   $$Q_1 = 5, \qquad Q_3 = 8$$
10. 10

    Risultato

    Media 48/7 ≈ 6.857143, mediana 8, moda 8, deviazione standard della popolazione σ ≈ 1.726149.

    $$\mu = \frac{48}{7}, \quad \tilde{x} = 8, \quad \sigma^2 = \frac{146}{49}, \quad \text{mode} = 8$$