Successioni e serie

Soluzione passo per passo

1. 1

   La successione

   Successione aritmetica con primo termine a₁ = 3 e differenza comune d = 5/2: ogni termine è il precedente più d.

   $$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$$
2. 2

   Primi termini

   Applica a_k = a_1 + (k − 1)·d per k = 1, …, 5:

   • a₁ = 3
   • a₂ = 11/2
   • a₃ = 8
   • a₄ = 21/2
   • a₅ = 13
3. 3

   Il termine n-esimo

   Sostituisci n = 10 nella formula:

   $$a_{10} = 3 + (10 - 1) \cdot \frac{5}{2} = \frac{51}{2}$$
4. 4

   Somma parziale

   Somma i primi 10 termini. Abbinando il primo con l'ultimo termine (il trucco di Gauss) si vede che la somma è il numero di termini per la media del primo e dell'ultimo termine.

   $$\begin{aligned} S_n &= \frac{n(a_1 + a_n)}{2} \\ S_{10} &= \frac{10 \cdot (3 + \frac{51}{2})}{2} = \frac{285}{2} \end{aligned}$$
5. 5

   Risultato

   a₁₀ = 51/2 e S₁₀ = 285/2 — entrambe frazioni esatte.

   $$a_{10} = \frac{51}{2}, \qquad S_{10} = \frac{285}{2}$$