Equazione della retta

Soluzione passo per passo

1. 1

   I dati

   La retta passa per due punti.

   $$(x_1, y_1) = \left(1,\ 2\right) \qquad (x_2, y_2) = \left(3,\ 8\right)$$
2. 2

   Pendenza

   La pendenza è l'incremento verticale sull'avanzamento orizzontale: la variazione di y divisa per la variazione di x.

   $$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{6}{2} = 3$$
3. 3

   Forma punto-pendenza

   Sostituisci la pendenza m = 3 e il punto (1, 2) nella forma punto-pendenza y − y₁ = m(x − x₁).

   $$y - 2 = 3\left(x - 1\right)$$
4. 4

   Forma esplicita

   Risolvi rispetto a y: distribuisci la pendenza e raccogli il termine noto. La costante è l'ordinata all'origine b = -1, che dà y = 3x - 1. Verifica col secondo punto: m·x₂ + b = 8, che coincide con y₂ ✓

   $$\begin{aligned} b &= y_1 - m \cdot x_1 \\ &= 2 - 3 \cdot 1 \\ &= -1 \\[2pt] y &= 3x - 1 \end{aligned}$$

   • b = y₁ − m·x₁ = 2 − 3·1 = -1
5. 5

   Forma standard

   Tutti i coefficienti sono già interi; riarrangia y = mx + b in Ax + By = C spostando il termine in x a sinistra.

   $$y = 3x - 1 \;\Longrightarrow\; 3x - y = 1$$
6. 6

   Intercette

   Poni x = 0 per trovare l'ordinata all'origine: y = -1. Poni y = 0 e risolvi 0 = mx + b rispetto a x: x = −b/m = 1/3. La retta incontra gli assi in (0, -1) e (1/3, 0).

   $$\text{y-intercept: } \left(0,\ -1\right) \qquad \text{x-intercept: } \left(\frac{1}{3},\ 0\right)$$
7. 7

   Risultato

   La retta ha pendenza 3 e incontra l'asse y in (0, -1). Equazione: y = 3x - 1.

   $$y = 3x - 1$$