Divisione di polinomi

Soluzione passo per passo

1. 1

   Impostazione

   Dividi P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 per D(x) = x - 2. Ripeti: dividi i termini direttori, moltiplica, sottrai — finché il grado del resto corrente scende sotto 1.

   $$\left(x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6\right) \div \left(x - 2\right)$$
2. 2

   Passo di divisione 1

   Dividi il termine direttore x^3 per il termine direttore x per ottenere il prossimo termine del quoziente x^2; moltiplica D(x) per esso e sottrai dal resto corrente.

   $$\begin{aligned} \frac{1}{1} &= x^{2} \\[4pt] &x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6 \\ -{}&\left(x^{3} - 2x^{2}\right) \\ ={}&-4x^{2} + 11x - 6 \end{aligned}$$

   • x^3 ÷ x = x^2
   • x^3 - 6x^2 + 11x - 6 − (x^3 - 2x^2) = -4x^2 + 11x - 6
3. 3

   Passo di divisione 2

   Dividi il termine direttore -4x^2 per il termine direttore x per ottenere il prossimo termine del quoziente -4x; moltiplica D(x) per esso e sottrai dal resto corrente.

   $$\begin{aligned} \frac{-4}{1} &= -4x \\[4pt] &-4x^{2} + 11x - 6 \\ -{}&\left(-4x^{2} + 8x\right) \\ ={}&3x - 6 \end{aligned}$$

   • -4x^2 ÷ x = -4x
   • -4x^2 + 11x - 6 − (-4x^2 + 8x) = 3x - 6
4. 4

   Passo di divisione 3

   Dividi il termine direttore 3x per il termine direttore x per ottenere il prossimo termine del quoziente 3; moltiplica D(x) per esso e sottrai dal resto corrente.

   $$\begin{aligned} \frac{3}{1} &= 3 \\[4pt] &3x - 6 \\ -{}&\left(3x - 6\right) \\ ={}&0 \end{aligned}$$

   • 3x ÷ x = 3
   • 3x - 6 − (3x - 6) = 0
5. 5

   Risultato

   Quoziente Q(x) = x^2 - 4x + 3, resto R(x) = 0.

   $$x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6 = \left(x^{2} - 4x + 3\right) \cdot \left(x - 2\right) + 0$$
6. 6

   Il divisore è un fattore

   Il resto è 0, quindi x - 2 divide x^3 - 6x^2 + 11x - 6 esattamente — è un fattore del dividendo.

   $$x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6 = \left(x^{2} - 4x + 3\right) \cdot \left(x - 2\right)$$
7. 7

   Teorema del resto

   Il divisore è lineare della forma (x − r) con r = 2. Per il teorema del resto, il resto è P(2) — qui 0.

   $$R = P\left(2\right) = 0$$