Autovalori e autovettori

Soluzione passo per passo

1. 1

   Polinomio caratteristico

   Calcola p(λ) = det(λI − A) con l'algoritmo di Faddeev-LeVerrier. Ogni coefficiente è costruito dalle tracce di prodotti di matrici calcolati esattamente, quindi non ci sono arrotondamenti.

   $$p(\lambda) = \lambda^{3}$$

   • p(λ) = λ^3
2. 2

   Cerca radici razionali

   Applica il teorema della radice razionale: ogni radice razionale p/q (in termini minimi) ha p ∣ termine noto e q ∣ coefficiente direttore. Radici trovate: 0 (×3).

   • λ = 0, algebraic multiplicity 3
3. 3

   Autospazio di λ = 0

   Risolvi (A − 0 I)v = 0 con eliminazione gaussiana. Molteplicità algebrica 3, molteplicità geometrica 3. Base: (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1).

   $$(A - \lambda I)\,v = 0$$
4. 4

   Riepilogo

   A è diagonalizzabile: i suoi autovettori formano una base di ℝ^3, quindi A = P D P⁻¹.