Decomposizione ai valori singolari

Come funziona

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   Decomposizione ai valori singolari (A = U Σ Vᵀ)

   L'input è 3×2. Uso rotazioni di Jacobi unilatero per ortogonalizzare le coppie di colonne di A.

   • Obiettivo: fattorizzare A = U Σ Vᵀ dove U (m×r) e V (n×r) hanno colonne ortonormali e Σ è diagonale con valori singolari non negativi.
   • Metodo: Jacobi unilatero — ruota ripetutamente coppie di colonne (i, j) di A finché ogni coppia di colonne non è ortogonale.
   • Dopo la convergenza: σₖ = ‖(A ruotata)ₖ‖, Uₖ = (A ruotata)ₖ / σₖ, e V accumula le rotazioni.
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   Convergenza

   Jacobi è confluito dopo 1 cicli e 0 rotazioni; tutte le coppie di colonne sono ora ortogonali entro la tolleranza.

   • Per-pair skip rule: |γ| ≤ 1e-12 · √(αβ), where α = ‖Bᵢ‖², β = ‖Bⱼ‖², γ = 2·Bᵢ·Bⱼ.
   • Jacobi angle: ζ = (β − α) / γ, t = sign(ζ) / (|ζ| + √(1 + ζ²)), c = 1/√(1+t²), s = t·c.
   • Each rotation [[c, s], [−s, c]] is applied to columns i, j of both B and V.
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   Valori singolari e rango

   Trovati 2 valori singolari; rango = 0.

   • σ = [0, 0]
   • Ogni σₖ è la norma di colonna della A ruotata, in ordine decrescente.
   • 2 valori singolari sono sotto la tolleranza di rango 1e-9 (zero numerico).
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   Verifica di ricostruzione

   ‖A − U Σ Vᵀ‖_F ≈ 0.000e+0 (dovrebbe essere ~0 entro la precisione numerica).

   • U (3×2):
   • [ 0, 0 ] [ 0, 0 ] [ 0, 0 ]
   • Σ (diagonal): [0, 0]
   • V (2×2):
   • [ 1, 0 ] [ 0, 1 ]