Valeurs propres et vecteurs propres

Solution étape par étape

1. 1

   Polynôme caractéristique

   Calculez p(λ) = det(λI − A) avec l’algorithme de Faddeev-LeVerrier. Chaque coefficient est construit à partir de traces de produits matriciels calculés exactement, donc aucun arrondi n’intervient.

   $$p(\lambda) = \lambda^{3}$$

   • p(λ) = λ^3
2. 2

   Rechercher des racines rationnelles

   Appliquez le théorème des racines rationnelles : toute racine rationnelle p/q (irréductible) vérifie p ∣ terme constant et q ∣ coefficient dominant. Racines trouvées : 0 (×3).

   • λ = 0, algebraic multiplicity 3
3. 3

   Sous-espace propre de λ = 0

   Résolvez (A − 0 I)v = 0 par élimination de Gauss. Multiplicité algébrique 3, multiplicité géométrique 3. Base : (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1).

   $$(A - \lambda I)\,v = 0$$
4. 4

   Bilan

   A est diagonalisable : ses vecteurs propres forment une base de ℝ^3, donc A = P D P⁻¹.