Systèmes d'équations linéaires

Solution étape par étape

1. 1

   Constituer la matrice augmentée

   Écrivez les 3 équations à 3 inconnues sous forme d’une matrice par blocs [A ∣ b] ; la dernière colonne est le second membre.

   1

   1

   1

   6

   2

   -1

   1

   3

   1

   2

   -1

   2
2. 2

   Pivot partiel : échanger R1 ↔ R2

   Amenez l’entrée de plus grand module de la colonne 1 à la ligne 1 pour l’utiliser comme pivot.

   $$R_{1} \leftrightarrow R_{2}$$

   2

   -1

   1

   3

   1

   1

   1

   6

   1

   2

   -1

   2
3. 3

   Normaliser R1

   Divisez la ligne 1 par 2 pour que le pivot devienne 1.

   $$R_{1} \to \frac{1}{2}\,R_{1}$$

   1

   -1/2

   1/2

   3/2

   1

   1

   1

   6

   1

   2

   -1

   2
4. 4

   Nettoyer la colonne 1

   R2 → R2 − (1)·R1 · R3 → R3 − (1)·R1

   $$R_{2} \to R_{2} - R_{1} \\ R_{3} \to R_{3} - R_{1}$$

   1

   -1/2

   1/2

   3/2

   0

   3/2

   1/2

   9/2

   0

   5/2

   -3/2

   1/2
5. 5

   Pivot partiel : échanger R2 ↔ R3

   Amenez l’entrée de plus grand module de la colonne 2 à la ligne 2 pour l’utiliser comme pivot.

   $$R_{2} \leftrightarrow R_{3}$$

   1

   -1/2

   1/2

   3/2

   0

   5/2

   -3/2

   1/2

   0

   3/2

   1/2

   9/2
6. 6

   Normaliser R2

   Divisez la ligne 2 par 5/2 pour que le pivot devienne 1.

   $$R_{2} \to \frac{1}{\frac{5}{2}}\,R_{2}$$

   1

   -1/2

   1/2

   3/2

   0

   1

   -3/5

   1/5

   0

   3/2

   1/2

   9/2
7. 7

   Nettoyer la colonne 2

   R1 → R1 − (-1/2)·R2 · R3 → R3 − (3/2)·R2

   $$R_{1} \to R_{1} + \frac{1}{2}\,R_{2} \\ R_{3} \to R_{3} - \frac{3}{2}\,R_{2}$$

   1

   0

   1/5

   8/5

   0

   1

   -3/5

   1/5

   0

   0

   7/5

   21/5
8. 8

   Normaliser R3

   Divisez la ligne 3 par 7/5 pour que le pivot devienne 1.

   $$R_{3} \to \frac{1}{\frac{7}{5}}\,R_{3}$$

   1

   0

   1/5

   8/5

   0

   1

   -3/5

   1/5

   0

   0

   1

   3
9. 9

   Nettoyer la colonne 3

   R1 → R1 − (1/5)·R3 · R2 → R2 − (-3/5)·R3

   $$R_{1} \to R_{1} - \frac{1}{5}\,R_{3} \\ R_{2} \to R_{2} + \frac{3}{5}\,R_{3}$$

   1

   0

   0

   1

   0

   1

   0

   2

   0

   0

   1

   3
10. 10

    Lire la solution

    La moitié gauche est la matrice identité, donc chaque ligne donne directement une variable.

    $$\begin{aligned} x_{1} = 1 \\ x_{2} = 2 \\ x_{3} = 3 \end{aligned}$$

    1

    0

    0

    1

    0

    1

    0

    2

    0

    0

    1

    3
11. 11

    Résultat

    x₁ = 1, x₂ = 2, x₃ = 3