Division de polynômes

Solution étape par étape

1. 1

   Mise en place

   Divisez P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 par D(x) = x - 2. Répétez : divisez les termes dominants, multipliez, soustrayez — jusqu’à ce que le degré du reste courant descende sous 1.

   $$\left(x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6\right) \div \left(x - 2\right)$$
2. 2

   Étape de division 1

   Divisez le terme dominant x^3 par le terme dominant x pour obtenir le terme de quotient suivant x^2 ; multipliez D(x) par lui et soustrayez du reste courant.

   $$\begin{aligned} \frac{1}{1} &= x^{2} \\[4pt] &x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6 \\ -{}&\left(x^{3} - 2x^{2}\right) \\ ={}&-4x^{2} + 11x - 6 \end{aligned}$$

   • x^3 ÷ x = x^2
   • x^3 - 6x^2 + 11x - 6 − (x^3 - 2x^2) = -4x^2 + 11x - 6
3. 3

   Étape de division 2

   Divisez le terme dominant -4x^2 par le terme dominant x pour obtenir le terme de quotient suivant -4x ; multipliez D(x) par lui et soustrayez du reste courant.

   $$\begin{aligned} \frac{-4}{1} &= -4x \\[4pt] &-4x^{2} + 11x - 6 \\ -{}&\left(-4x^{2} + 8x\right) \\ ={}&3x - 6 \end{aligned}$$

   • -4x^2 ÷ x = -4x
   • -4x^2 + 11x - 6 − (-4x^2 + 8x) = 3x - 6
4. 4

   Étape de division 3

   Divisez le terme dominant 3x par le terme dominant x pour obtenir le terme de quotient suivant 3 ; multipliez D(x) par lui et soustrayez du reste courant.

   $$\begin{aligned} \frac{3}{1} &= 3 \\[4pt] &3x - 6 \\ -{}&\left(3x - 6\right) \\ ={}&0 \end{aligned}$$

   • 3x ÷ x = 3
   • 3x - 6 − (3x - 6) = 0
5. 5

   Résultat

   Quotient Q(x) = x^2 - 4x + 3, reste R(x) = 0.

   $$x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6 = \left(x^{2} - 4x + 3\right) \cdot \left(x - 2\right) + 0$$
6. 6

   Le diviseur est un facteur

   Le reste est 0, donc x - 2 divise exactement x^3 - 6x^2 + 11x - 6 — c’est un facteur du dividende.

   $$x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6 = \left(x^{2} - 4x + 3\right) \cdot \left(x - 2\right)$$
7. 7

   Théorème du reste

   Le diviseur est linéaire de la forme (x − r) avec r = 2. D’après le théorème du reste, le reste vaut P(2) — ici 0.

   $$R = P\left(2\right) = 0$$