Calculatrice de factorisation de polynômes
P(x) = (x^2 - 5x + 6)
Racines rationnelles
Solution étape par étape
- 1
Identifier le polynôme
Les coefficients décrivent le polynôme x^2 - 5x + 6 de degré 2.
- 2
Racines rationnelles candidates
D'après le théorème des racines rationnelles, toute racine rationnelle est de la forme p/q avec p divisant 6 et q divisant 1.
- p ∣ 6: 1, 2, 3, 6
- q ∣ 1: 1
- ±p/q: ±1, ±2, ±3, ±6
- 3
Racine trouvée
En substituant x = 2 dans x^2 - 5x + 6, on obtient 0, donc 2 est une racine.
- b₂ = 1
- b₁ = 1·(2) + (−5) = −3
- b₀ = −3·(2) + (6) = 0
- 4
Division synthétique
On divise par le facteur linéaire de la racine 2 : la division synthétique donne le quotient x - 3.
- 5
Racine trouvée
En substituant x = 3 dans x - 3, on obtient 0, donc 3 est une racine.
- b₁ = 1
- b₀ = 1·(3) + (−3) = 0
- 6
Division synthétique
On divise par le facteur linéaire de la racine 3 : la division synthétique donne le quotient 1.
- 7
Forme factorisée
La factorisation complète du polynôme sur les nombres rationnels.
- 8
Vérifier en développant
En développant le produit, on obtient x^2 - 5x + 6, exactement le polynôme d'origine x^2 - 5x + 6.
- (x - 2) · (x - 3) = x^2 - 5x + 6
À propos de la factorisation
Factoriser, c'est réécrire un polynôme comme produit de polynômes plus simples. Sur les nombres rationnels, tout polynôme de degré au plus 4 se décompose en un scalaire, des puissances de x, des facteurs linéaires et des facteurs quadratiques irréductibles — et les racines se lisent directement sur les facteurs : chaque facteur (x − r) correspond à la racine r.
La calculatrice travaille de façon exacte, avec des fractions plutôt que des décimaux. Elle élimine d'abord les dénominateurs et met en évidence le plus grand monôme commun, puis cherche les racines rationnelles grâce au théorème des racines rationnelles : toute racine rationnelle p/q a un p qui divise le terme constant et un q qui divise le coefficient dominant. Chaque racine trouvée est éliminée par division synthétique ; le facteur quadratique restant est classé selon son discriminant, et pour les polynômes de degré 4 on essaie aussi la substitution u = x² puis une recherche de Gauss d'un produit de deux facteurs quadratiques.
Astuces : une racine trouvée deux fois donne un facteur au carré (multiplicité 2) ; un discriminant négatif signifie des racines complexes conjuguées et un quadratique irréductible ; et la dernière étape redéveloppe toujours le produit, ce qui permet de vérifier la réponse en une ligne.