Décomposition en valeurs singulières

Comment ça marche

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   Décomposition en valeurs singulières (A = U Σ Vᵀ)

   L’entrée est 3×2. Des rotations de Jacobi unilatères orthogonalisent les paires de colonnes de A.

   • Objectif : factoriser A = U Σ Vᵀ où U (m×r) et V (n×r) ont des colonnes orthonormées et Σ est diagonale avec des valeurs singulières non négatives.
   • Méthode : Jacobi unilatère — faire pivoter répétitivement les paires de colonnes (i, j) de A jusqu’à orthogonalité de chaque paire.
   • Après convergence : σₖ = ‖(A tournée)ₖ‖, Uₖ = (A tournée)ₖ / σₖ, et V accumule les rotations.
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   Convergence

   Jacobi a convergé après 1 balayage(s) et 0 rotation(s) ; toutes les paires de colonnes sont désormais orthogonales à la tolérance près.

   • Per-pair skip rule: |γ| ≤ 1e-12 · √(αβ), where α = ‖Bᵢ‖², β = ‖Bⱼ‖², γ = 2·Bᵢ·Bⱼ.
   • Jacobi angle: ζ = (β − α) / γ, t = sign(ζ) / (|ζ| + √(1 + ζ²)), c = 1/√(1+t²), s = t·c.
   • Each rotation [[c, s], [−s, c]] is applied to columns i, j of both B and V.
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   Valeurs singulières et rang

   2 valeur(s) singulière(s) trouvée(s) ; rang = 0.

   • σ = [0, 0]
   • Chaque σₖ est la norme de colonne du A tourné, triée par ordre décroissant.
   • 2 valeur(s) singulière(s) sont sous la tolérance de rang 1e-9 (nulles numériquement).
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   Vérification de reconstruction

   ‖A − U Σ Vᵀ‖_F ≈ 0.000e+0 (devrait être ~0 à la précision numérique près).

   • U (3×2):
   • [ 0, 0 ] [ 0, 0 ] [ 0, 0 ]
   • Σ (diagonal): [0, 0]
   • V (2×2):
   • [ 1, 0 ] [ 0, 1 ]