Statistiques descriptives

Solution étape par étape

1. 1

   Les données

   7 valeurs, triées par ordre croissant.

   $$4, 5, 6, 8, 8, 8, 9$$
2. 2

   Somme et moyenne

   Additionnez toutes les valeurs, puis divisez la somme par n = 7. Approximation décimale : 48/7 ≈ 6.857143.

   $$\begin{aligned} \sum_{i=1}^{7} x_i &= 4 + 5 + 6 + 8 + 8 + 8 + 9 = 48 \\ \mu &= \frac{48}{7} = \frac{48}{7} \end{aligned}$$
3. 3

   Médiane

   Avec un nombre impair de valeurs, la médiane est la valeur du milieu — la position 4 sur 7.

   $$\tilde{x} = 8$$
4. 4

   Mode

   La valeur 8 apparaît 3 fois — plus souvent que toute autre valeur, c’est donc le mode.

   $$\text{mode} = 8$$

   • 8 apparaît 3 fois
5. 5

   Étendue

   L’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur.

   $$R = x_{\max} - x_{\min} = 9 - 4 = 5$$
6. 6

   Variance de la population σ²

   Élevez chaque écart à la moyenne au carré, additionnez les écarts carrés et divisez par n = 7.

   $$\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu)^2}{n} = \frac{\frac{146}{7}}{7} = \frac{146}{49}$$

   • (4 − 48/7)² = 400/49
   • (5 − 48/7)² = 169/49
   • (6 − 48/7)² = 36/49
   • (8 − 48/7)² = 64/49
   • (8 − 48/7)² = 64/49
   • (8 − 48/7)² = 64/49
   • (9 − 48/7)² = 225/49
7. 7

   Variance de l’échantillon s²

   Pour un échantillon d’une population plus vaste, diviser par n − 1 = 6 au lieu de n (correction de Bessel) donne un estimateur non biaisé de la variance de la population.

   $$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu)^2}{n - 1} = \frac{\frac{146}{7}}{6} = \frac{73}{21}$$

   • (4 − 48/7)² = 400/49
   • (5 − 48/7)² = 169/49
   • (6 − 48/7)² = 36/49
   • (8 − 48/7)² = 64/49
   • (8 − 48/7)² = 64/49
   • (8 − 48/7)² = 64/49
   • (9 − 48/7)² = 225/49
8. 8

   Écarts-types

   L’écart-type est la racine carrée de la variance. Il est irrationnel en général, donc seule une approximation décimale est affichée.

   $$\begin{aligned} \sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{\frac{146}{49}} \approx 1.726149 \\ s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{73}{21}} \approx 1.864454 \end{aligned}$$
9. 9

   Quartiles

   Q1 est la médiane de la moitié inférieure (les 3 premières valeurs triées) et Q3 la médiane de la moitié supérieure (les 3 dernières valeurs triées) — la valeur du milieu n’appartient à aucune des deux moitiés.

   $$Q_1 = 5, \qquad Q_3 = 8$$
10. 10

    Résultat

    Moyenne 48/7 ≈ 6.857143, médiane 8, mode 8, écart-type de la population σ ≈ 1.726149.

    $$\mu = \frac{48}{7}, \quad \tilde{x} = 8, \quad \sigma^2 = \frac{146}{49}, \quad \text{mode} = 8$$