Distribuzione ipergeometrica
- P(X = k)
- 385/969≈ 0.397317
- P(X ≤ k)
- 682/969≈ 0.703818
- P(X ≥ k)
- 224/323≈ 0.693498
Ogni barra è la probabilità esatta di un risultato; le barre più scure formano l’evento selezionato. Alterna tra PMF (P(X = k)) e CDF (P(X ≤ k)).
Soluzione passo per passo
- 1
Formula
Per X ~ Ipergeometrica(N, K, n), P(X = k) conta i campioni con esattamente k successi e divide per tutti i campioni possibili: P(X = k) = C(K, k) · C(N−K, n−k) / C(N, n).
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Sostituire i valori
N = 20, K = 8, n = 5, k = 2. Il supporto è 0 ≤ k ≤ 5.
- 3
Scegliere i successi
C(8, 2) = 28.
- 4
Scegliere i fallimenti
C(12, 3) = 220.
- 5
Tutti i campioni possibili
C(20, 5) = 15504.
- 6
Combinare
P(X = 2) = (28 · 220) / 15504 = 385/969.
- 7
Risultato
P(X = 2) = 385/969
Sulla distribuzione ipergeometrica
La distribuzione ipergeometrica modella l’estrazione senza reinserimento: si estraggono n oggetti da una popolazione di N che ne contiene K di successo, e X conta i successi ottenuti. Poiché gli oggetti estratti non tornano, ogni estrazione cambia le probabilità della successiva — a differenza della binomiale, dove p resta fisso.
Il supporto è max(0, n + K − N) ≤ k ≤ min(n, K): non si possono ottenere più successi di quanti ne esistano e, con un campione abbastanza grande, almeno n − (N − K) successi sono obbligatori. La media è n · K/N; la varianza è quella binomiale moltiplicata per la correzione di popolazione finita (N − n)/(N − 1), che tende a 0 quando il campione copre tutta la popolazione.
Usi tipici: probabilità di lotteria (6 su 49), controllo qualità (difetti in un campione) e giochi di carte. Regola pratica: quando il campione è piccolo rispetto alla popolazione (n ≤ N/10), la ipergeometrica è vicina alla binomiale Bin(n, K/N).