Diagonalización
Escribe A como P D P⁻¹, donde D es diagonal (los valores propios) y las columnas de P son los vectores propios. Exacta cuando los valores propios son racionales.
Diagonalizable
A = P D P⁻¹ se muestra abajo.
Matriz de entrada A3×3
Enteros, negativos, decimales o fracciones (p. ej. 3, -2, 1/2). Las celdas vacías cuentan como 0.
Resultado exacto
Todos los valores propios son racionales, así que P, D y P⁻¹ son exactos.
P (vectores propios)
1
0
0
0
1
0
0
0
1
D (valores propios)
0
0
0
P⁻¹
1
0
0
0
1
0
0
0
1
A = P · D · P⁻¹
Solución paso a paso
- 1
Polinomio característico
Calcula p(λ) = det(λI − A) con el algoritmo de Faddeev-LeVerrier. Cada coeficiente se construye a partir de trazas de productos matriciales calculados con exactitud, sin redondeo.
- p(λ) = λ^3
- 2
Buscar raíces racionales
Aplica el teorema de la raíz racional: toda raíz racional p/q (en mínimos términos) cumple p ∣ término independiente y q ∣ coeficiente principal. Raíces encontradas: 0 (×3).
- λ = 0, algebraic multiplicity 3
- 3
Espacio propio de λ = 0
Resuelve (A − 0 I)v = 0 por eliminación de Gauss. Multiplicidad algebraica 3, multiplicidad geométrica 3. Base: (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1).
- 4
Resumen
A es diagonalizable: sus vectores propios forman una base de ℝ^3, así que A = P D P⁻¹.