Estadística descriptiva

Solución paso a paso

1. 1

   Los datos

   7 valores, ordenados de forma ascendente.

   $$4, 5, 6, 8, 8, 8, 9$$
2. 2

   Suma y media

   Suma todos los valores y luego divide la suma por n = 7. Aproximación decimal: 48/7 ≈ 6.857143.

   $$\begin{aligned} \sum_{i=1}^{7} x_i &= 4 + 5 + 6 + 8 + 8 + 8 + 9 = 48 \\ \mu &= \frac{48}{7} = \frac{48}{7} \end{aligned}$$
3. 3

   Mediana

   Con un número impar de valores, la mediana es el valor central — la posición 4 de 7.

   $$\tilde{x} = 8$$
4. 4

   Moda

   El valor 8 aparece 3 veces — con más frecuencia que cualquier otro valor, así que es la moda.

   $$\text{mode} = 8$$

   • 8 aparece 3 veces
5. 5

   Rango

   El rango es la diferencia entre el valor más grande y el más pequeño.

   $$R = x_{\max} - x_{\min} = 9 - 4 = 5$$
6. 6

   Varianza poblacional σ²

   Eleva al cuadrado cada desviación respecto a la media, suma las desviaciones al cuadrado y divide por n = 7.

   $$\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu)^2}{n} = \frac{\frac{146}{7}}{7} = \frac{146}{49}$$

   • (4 − 48/7)² = 400/49
   • (5 − 48/7)² = 169/49
   • (6 − 48/7)² = 36/49
   • (8 − 48/7)² = 64/49
   • (8 − 48/7)² = 64/49
   • (8 − 48/7)² = 64/49
   • (9 − 48/7)² = 225/49
7. 7

   Varianza muestral s²

   Para una muestra de una población mayor, dividir por n − 1 = 6 en lugar de n (corrección de Bessel) da una estimación insesgada de la varianza poblacional.

   $$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu)^2}{n - 1} = \frac{\frac{146}{7}}{6} = \frac{73}{21}$$

   • (4 − 48/7)² = 400/49
   • (5 − 48/7)² = 169/49
   • (6 − 48/7)² = 36/49
   • (8 − 48/7)² = 64/49
   • (8 − 48/7)² = 64/49
   • (8 − 48/7)² = 64/49
   • (9 − 48/7)² = 225/49
8. 8

   Desviaciones estándar

   La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza. En general es irracional, así que solo se muestra una aproximación decimal.

   $$\begin{aligned} \sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{\frac{146}{49}} \approx 1.726149 \\ s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{73}{21}} \approx 1.864454 \end{aligned}$$
9. 9

   Cuartiles

   Q1 es la mediana de la mitad inferior (los 3 primeros valores ordenados) y Q3 la mediana de la mitad superior (los 3 últimos valores ordenados) — el valor central no pertenece a ninguna mitad.

   $$Q_1 = 5, \qquad Q_3 = 8$$
10. 10

    Resultado

    Media 48/7 ≈ 6.857143, mediana 8, moda 8, desviación estándar poblacional σ ≈ 1.726149.

    $$\mu = \frac{48}{7}, \quad \tilde{x} = 8, \quad \sigma^2 = \frac{146}{49}, \quad \text{mode} = 8$$