Sucesiones y series

Solución paso a paso

1. 1

   La sucesión

   Sucesión aritmética con primer término a₁ = 3 y diferencia común d = 5/2: cada término es el término anterior más d.

   $$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$$
2. 2

   Primeros términos

   Aplica a_k = a_1 + (k − 1)·d para k = 1, …, 5:

   • a₁ = 3
   • a₂ = 11/2
   • a₃ = 8
   • a₄ = 21/2
   • a₅ = 13
3. 3

   El término n-ésimo

   Sustituye n = 10 en la fórmula:

   $$a_{10} = 3 + (10 - 1) \cdot \frac{5}{2} = \frac{51}{2}$$
4. 4

   Suma parcial

   Suma los primeros 10 términos. Emparejar el primero con el último (el truco de Gauss) muestra que la suma es el número de términos por el promedio del primer y el último término.

   $$\begin{aligned} S_n &= \frac{n(a_1 + a_n)}{2} \\ S_{10} &= \frac{10 \cdot (3 + \frac{51}{2})}{2} = \frac{285}{2} \end{aligned}$$
5. 5

   Resultado

   a₁₀ = 51/2 y S₁₀ = 285/2 — ambos fracciones exactas.

   $$a_{10} = \frac{51}{2}, \qquad S_{10} = \frac{285}{2}$$