División de polinomios

Solución paso a paso

1. 1

   Planteamiento

   Divide P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 entre D(x) = x - 2. Repite: divide los términos principales, multiplica, resta — hasta que el grado del resto actual baje de 1.

   $$\left(x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6\right) \div \left(x - 2\right)$$
2. 2

   División 1

   Divide el término principal x^3 entre el término principal x para obtener el siguiente término del cociente x^2; multiplica D(x) por él y réstalo del resto actual.

   $$\begin{aligned} \frac{1}{1} &= x^{2} \\[4pt] &x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6 \\ -{}&\left(x^{3} - 2x^{2}\right) \\ ={}&-4x^{2} + 11x - 6 \end{aligned}$$

   • x^3 ÷ x = x^2
   • x^3 - 6x^2 + 11x - 6 − (x^3 - 2x^2) = -4x^2 + 11x - 6
3. 3

   División 2

   Divide el término principal -4x^2 entre el término principal x para obtener el siguiente término del cociente -4x; multiplica D(x) por él y réstalo del resto actual.

   $$\begin{aligned} \frac{-4}{1} &= -4x \\[4pt] &-4x^{2} + 11x - 6 \\ -{}&\left(-4x^{2} + 8x\right) \\ ={}&3x - 6 \end{aligned}$$

   • -4x^2 ÷ x = -4x
   • -4x^2 + 11x - 6 − (-4x^2 + 8x) = 3x - 6
4. 4

   División 3

   Divide el término principal 3x entre el término principal x para obtener el siguiente término del cociente 3; multiplica D(x) por él y réstalo del resto actual.

   $$\begin{aligned} \frac{3}{1} &= 3 \\[4pt] &3x - 6 \\ -{}&\left(3x - 6\right) \\ ={}&0 \end{aligned}$$

   • 3x ÷ x = 3
   • 3x - 6 − (3x - 6) = 0
5. 5

   Resultado

   Cociente Q(x) = x^2 - 4x + 3, resto R(x) = 0.

   $$x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6 = \left(x^{2} - 4x + 3\right) \cdot \left(x - 2\right) + 0$$
6. 6

   El divisor es un factor

   El resto es 0, así que x - 2 divide exactamente a x^3 - 6x^2 + 11x - 6 — es un factor del dividendo.

   $$x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6 = \left(x^{2} - 4x + 3\right) \cdot \left(x - 2\right)$$
7. 7

   Teorema del resto

   El divisor es lineal de la forma (x − r) con r = 2. Por el teorema del resto, el resto es igual a P(2) — aquí 0.

   $$R = P\left(2\right) = 0$$