Descomposición en valores singulares

Cómo funciona

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   Descomposición en valores singulares (A = U Σ Vᵀ)

   La entrada es 3×2. Se usan rotaciones de Jacobi unilaterales para ortogonalizar pares de columnas de A.

   • Objetivo: factorizar A = U Σ Vᵀ donde U (m×r) y V (n×r) tienen columnas ortonormales y Σ es diagonal con valores singulares no negativos.
   • Método: Jacobi unilateral — rotar repetidamente pares de columnas (i, j) de A hasta que cada par sea ortogonal.
   • Tras la convergencia: σₖ = ‖(A rotada)ₖ‖, Uₖ = (A rotada)ₖ / σₖ, y V acumula las rotaciones.
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   Convergencia

   Jacobi convergió tras 1 barrido(s) y 0 rotación(es); todos los pares de columnas son ahora ortogonales dentro de la tolerancia.

   • Per-pair skip rule: |γ| ≤ 1e-12 · √(αβ), where α = ‖Bᵢ‖², β = ‖Bⱼ‖², γ = 2·Bᵢ·Bⱼ.
   • Jacobi angle: ζ = (β − α) / γ, t = sign(ζ) / (|ζ| + √(1 + ζ²)), c = 1/√(1+t²), s = t·c.
   • Each rotation [[c, s], [−s, c]] is applied to columns i, j of both B and V.
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   Valores singulares y rango

   Se encontraron 2 valor(es) singular(es); rango = 0.

   • σ = [0, 0]
   • Cada σₖ es la norma de columna de la A rotada, ordenada descendentemente.
   • 2 valor(es) singular(es) están por debajo de la tolerancia de rango 1e-9 (cero numérico).
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   Comprobación de reconstrucción

   ‖A − U Σ Vᵀ‖_F ≈ 0.000e+0 (debería ser ~0 dentro de la precisión numérica).

   • U (3×2):
   • [ 0, 0 ] [ 0, 0 ] [ 0, 0 ]
   • Σ (diagonal): [0, 0]
   • V (2×2):
   • [ 1, 0 ] [ 0, 1 ]