Ecuación de la recta

Solución paso a paso

1. 1

   Los datos

   La recta pasa por dos puntos.

   $$(x_1, y_1) = \left(1,\ 2\right) \qquad (x_2, y_2) = \left(3,\ 8\right)$$
2. 2

   Pendiente

   La pendiente es la subida entre la avance: el cambio en y dividido por el cambio en x.

   $$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{6}{2} = 3$$
3. 3

   Forma punto-pendiente

   Sustituye la pendiente m = 3 y el punto (1, 2) en la forma punto-pendiente y − y₁ = m(x − x₁).

   $$y - 2 = 3\left(x - 1\right)$$
4. 4

   Forma pendiente-ordenada

   Despeja y: distribuye la pendiente y agrupa el término constante. La constante es la ordenada al origen b = -1, lo que da y = 3x - 1. Comprobación con el segundo punto: m·x₂ + b = 8, coincide con y₂ ✓

   $$\begin{aligned} b &= y_1 - m \cdot x_1 \\ &= 2 - 3 \cdot 1 \\ &= -1 \\[2pt] y &= 3x - 1 \end{aligned}$$

   • b = y₁ − m·x₁ = 2 − 3·1 = -1
5. 5

   Forma estándar

   Todos los coeficientes ya son enteros; reordena y = mx + b en Ax + By = C moviendo el término en x a la izquierda.

   $$y = 3x - 1 \;\Longrightarrow\; 3x - y = 1$$
6. 6

   Intersecciones

   Pon x = 0 para la ordenada al origen: y = -1. Pon y = 0 y resuelve 0 = mx + b para x: x = −b/m = 1/3. La recta corta los ejes en (0, -1) y (1/3, 0).

   $$\text{y-intercept: } \left(0,\ -1\right) \qquad \text{x-intercept: } \left(\frac{1}{3},\ 0\right)$$
7. 7

   Resultado

   La recta tiene pendiente 3 y corta el eje y en (0, -1). Ecuación: y = 3x - 1.

   $$y = 3x - 1$$