Loi hypergéométrique
- P(X = k)
- 385/969≈ 0.397317
- P(X ≤ k)
- 682/969≈ 0.703818
- P(X ≥ k)
- 224/323≈ 0.693498
Chaque barre donne la probabilité exacte d’un résultat ; les barres plus foncées forment l’événement choisi. Basculez entre PMF (P(X = k)) et CDF (P(X ≤ k)).
Solution étape par étape
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Formule
Pour X ~ Hypergéométrique(N, K, n), P(X = k) compte les échantillons contenant exactement k succès et divise par tous les échantillons possibles : P(X = k) = C(K, k) · C(N−K, n−k) / C(N, n).
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Substituer les valeurs
N = 20, K = 8, n = 5, k = 2. Le support est 0 ≤ k ≤ 5.
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Choisir les succès
C(8, 2) = 28.
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Choisir les échecs
C(12, 3) = 220.
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Tous les échantillons possibles
C(20, 5) = 15504.
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Combiner
P(X = 2) = (28 · 220) / 15504 = 385/969.
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Résultat
P(X = 2) = 385/969
À propos de la loi hypergéométrique
La loi hypergéométrique modélise le tirage sans remise : on tire n objets d’une population de N en contenant K succès, et X compte les succès obtenus. Comme les objets tirés ne sont pas remis, chaque tirage change les chances du suivant — contrairement à la loi binomiale, où la probabilité p reste fixe.
Le support est max(0, n + K − N) ≤ k ≤ min(n, K) : on ne peut pas obtenir plus de succès qu’il n’en existe, et dès que l’échantillon est assez grand, au moins n − (N − K) succès sont imposés. La moyenne est n · K/N ; la variance est celle de la binomiale multipliée par le correctif de population finie (N − n)/(N − 1), qui tend vers 0 quand l’échantillon couvre toute la population.
Applications types : probabilités de loterie (6 sur 49), contrôle qualité (pièces défectueuses dans un échantillon) et jeux de cartes. En règle empirique, quand l’échantillon est petit devant la population (n ≤ N/10), la loi hypergéométrique est proche de la binomiale Bin(n, K/N).