Diagonalização de Matrizes
Escreva A como P D P⁻¹, onde D é diagonal (os autovalores) e as colunas de P são os autovetores. Exato quando os autovalores são racionais.
Diagonalizável
A = P D P⁻¹ é exibida abaixo.
Matriz de entrada A3×3
Inteiros, negativos, decimais ou frações (ex.: 3, -2, 1/2). Células vazias contam como 0.
Resultado exato
Todos os autovalores são racionais, então P, D e P⁻¹ são exatos.
P (autovetores)
1
0
0
0
1
0
0
0
1
D (autovalores)
0
0
0
P⁻¹
1
0
0
0
1
0
0
0
1
A = P · D · P⁻¹
Solução passo a passo
- 1
Polinômio característico
Calcule p(λ) = det(λI − A) com o algoritmo de Faddeev-LeVerrier. Cada coeficiente é construído a partir de traços de produtos matriciais calculados exatamente, portanto sem arredondamento.
- p(λ) = λ^3
- 2
Procurar raízes racionais
Aplique o teorema da raiz racional: toda raiz racional p/q (irredutível) satisfaz p ∣ termo constante e q ∣ coeficiente líder. Raízes encontradas: 0 (×3).
- λ = 0, algebraic multiplicity 3
- 3
Autoespaço de λ = 0
Resolva (A − 0 I)v = 0 por eliminação de Gauss. Multiplicidade algébrica 3, multiplicidade geométrica 3. Base: (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1).
- 4
Resumo
A é diagonalizável: seus autovetores formam uma base de ℝ^3, logo A = P D P⁻¹.