Sistemas de Equações Lineares

Solução passo a passo

1. 1

   Montar a matriz aumentada

   Escreva as 3 equações com 3 incógnitas como uma matriz por blocos [A ∣ b]; a última coluna é o lado direito.

   1

   1

   1

   6

   2

   -1

   1

   3

   1

   2

   -1

   2
2. 2

   Pivoteamento parcial: troque R1 ↔ R2

   Traga a entrada de maior magnitude da coluna 1 para a linha 1 para usá-la como pivô.

   $$R_{1} \leftrightarrow R_{2}$$

   2

   -1

   1

   3

   1

   1

   1

   6

   1

   2

   -1

   2
3. 3

   Normalizar R1

   Divida a linha 1 por 2 para que o pivô se torne 1.

   $$R_{1} \to \frac{1}{2}\,R_{1}$$

   1

   -1/2

   1/2

   3/2

   1

   1

   1

   6

   1

   2

   -1

   2
4. 4

   Limpar a coluna 1

   R2 → R2 − (1)·R1 · R3 → R3 − (1)·R1

   $$R_{2} \to R_{2} - R_{1} \\ R_{3} \to R_{3} - R_{1}$$

   1

   -1/2

   1/2

   3/2

   0

   3/2

   1/2

   9/2

   0

   5/2

   -3/2

   1/2
5. 5

   Pivoteamento parcial: troque R2 ↔ R3

   Traga a entrada de maior magnitude da coluna 2 para a linha 2 para usá-la como pivô.

   $$R_{2} \leftrightarrow R_{3}$$

   1

   -1/2

   1/2

   3/2

   0

   5/2

   -3/2

   1/2

   0

   3/2

   1/2

   9/2
6. 6

   Normalizar R2

   Divida a linha 2 por 5/2 para que o pivô se torne 1.

   $$R_{2} \to \frac{1}{\frac{5}{2}}\,R_{2}$$

   1

   -1/2

   1/2

   3/2

   0

   1

   -3/5

   1/5

   0

   3/2

   1/2

   9/2
7. 7

   Limpar a coluna 2

   R1 → R1 − (-1/2)·R2 · R3 → R3 − (3/2)·R2

   $$R_{1} \to R_{1} + \frac{1}{2}\,R_{2} \\ R_{3} \to R_{3} - \frac{3}{2}\,R_{2}$$

   1

   0

   1/5

   8/5

   0

   1

   -3/5

   1/5

   0

   0

   7/5

   21/5
8. 8

   Normalizar R3

   Divida a linha 3 por 7/5 para que o pivô se torne 1.

   $$R_{3} \to \frac{1}{\frac{7}{5}}\,R_{3}$$

   1

   0

   1/5

   8/5

   0

   1

   -3/5

   1/5

   0

   0

   1

   3
9. 9

   Limpar a coluna 3

   R1 → R1 − (1/5)·R3 · R2 → R2 − (-3/5)·R3

   $$R_{1} \to R_{1} - \frac{1}{5}\,R_{3} \\ R_{2} \to R_{2} + \frac{3}{5}\,R_{3}$$

   1

   0

   0

   1

   0

   1

   0

   2

   0

   0

   1

   3
10. 10

    Ler a solução

    A metade esquerda é a matriz identidade, então cada linha dá uma variável diretamente.

    $$\begin{aligned} x_{1} = 1 \\ x_{2} = 2 \\ x_{3} = 3 \end{aligned}$$

    1

    0

    0

    1

    0

    1

    0

    2

    0

    0

    1

    3
11. 11

    Resultado

    x₁ = 1, x₂ = 2, x₃ = 3