Decomposição em Valores Singulares

Como funciona

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   Decomposição em valores singulares (A = U Σ Vᵀ)

   A entrada é 3×2. Rotações de Jacobi unilaterais ortogonalizam pares de colunas de A.

   • Objetivo: fatorar A = U Σ Vᵀ onde U (m×r) e V (n×r) têm colunas ortonormais e Σ é diagonal com valores singulares não negativos.
   • Método: Jacobi unilateral — girar repetidamente pares de colunas (i, j) de A até que cada par seja ortogonal.
   • Após a convergência: σₖ = ‖(A girada)ₖ‖, Uₖ = (A girada)ₖ / σₖ, e V acumula as rotações.
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   Convergência

   Jacobi convergiu após 1 varredura(s) e 0 rotação(ões); todos os pares de colunas agora são ortogonais dentro da tolerância.

   • Per-pair skip rule: |γ| ≤ 1e-12 · √(αβ), where α = ‖Bᵢ‖², β = ‖Bⱼ‖², γ = 2·Bᵢ·Bⱼ.
   • Jacobi angle: ζ = (β − α) / γ, t = sign(ζ) / (|ζ| + √(1 + ζ²)), c = 1/√(1+t²), s = t·c.
   • Each rotation [[c, s], [−s, c]] is applied to columns i, j of both B and V.
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   Valores singulares e posto

   2 valor(es) singular(es) encontrado(s); posto = 0.

   • σ = [0, 0]
   • Cada σₖ é a norma de coluna do A girado, ordenada decrescentemente.
   • 2 valor(es) singular(es) estão abaixo da tolerância de posto 1e-9 (zero numericamente).
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   Verificação de reconstrução

   ‖A − U Σ Vᵀ‖_F ≈ 0.000e+0 (deveria ser ~0 dentro da precisão numérica).

   • U (3×2):
   • [ 0, 0 ] [ 0, 0 ] [ 0, 0 ]
   • Σ (diagonal): [0, 0]
   • V (2×2):
   • [ 1, 0 ] [ 0, 1 ]