Autovalores e Autovetores
Encontre cada autovalor de uma matriz quadrada: frações exatas quando racionais, forma radical exata nos casos quadráticos e pares complexos conjugados quando aparecem — cada um com seu autoespaço.
Calculado
Autovalores, autoespaços e a resolução são exibidos abaixo.
Matriz de entrada A3×3
Inteiros, negativos, decimais ou frações (ex.: 3, -2, 1/2). Células vazias contam como 0.
Polinômio característico
det(λI − A) = λ^3
Os autovalores são as raízes deste polinômio.
λ1
exatoalg 3geo 3
0
Base do autoespaço (autovetores):
(1, 0, 0)(0, 1, 0)(0, 0, 1)
Solução passo a passo
- 1
Polinômio característico
Calcule p(λ) = det(λI − A) com o algoritmo de Faddeev-LeVerrier. Cada coeficiente é construído a partir de traços de produtos matriciais calculados exatamente, portanto sem arredondamento.
- p(λ) = λ^3
- 2
Procurar raízes racionais
Aplique o teorema da raiz racional: toda raiz racional p/q (irredutível) satisfaz p ∣ termo constante e q ∣ coeficiente líder. Raízes encontradas: 0 (×3).
- λ = 0, algebraic multiplicity 3
- 3
Autoespaço de λ = 0
Resolva (A − 0 I)v = 0 por eliminação de Gauss. Multiplicidade algébrica 3, multiplicidade geométrica 3. Base: (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1).
- 4
Resumo
A é diagonalizável: seus autovetores formam uma base de ℝ^3, logo A = P D P⁻¹.