Sequências e Séries

Solução passo a passo

1. 1

   A sequência

   Sequência aritmética com primeiro termo a₁ = 3 e diferença comum d = 5/2: cada termo é o termo anterior mais d.

   $$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$$
2. 2

   Primeiros termos

   Aplique a_k = a_1 + (k − 1)·d para k = 1, …, 5:

   • a₁ = 3
   • a₂ = 11/2
   • a₃ = 8
   • a₄ = 21/2
   • a₅ = 13
3. 3

   O n-ésimo termo

   Substitua n = 10 na fórmula:

   $$a_{10} = 3 + (10 - 1) \cdot \frac{5}{2} = \frac{51}{2}$$
4. 4

   Soma parcial

   Some os primeiros 10 termos. Emparelhar o primeiro com o último (o truque de Gauss) mostra que a soma é o número de termos vezes a média do primeiro e do último termo.

   $$\begin{aligned} S_n &= \frac{n(a_1 + a_n)}{2} \\ S_{10} &= \frac{10 \cdot (3 + \frac{51}{2})}{2} = \frac{285}{2} \end{aligned}$$
5. 5

   Resultado

   a₁₀ = 51/2 e S₁₀ = 285/2 — ambos frações exatas.

   $$a_{10} = \frac{51}{2}, \qquad S_{10} = \frac{285}{2}$$