Divisão Longa de Polinômios

Solução passo a passo

1. 1

   Preparação

   Divida P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 por D(x) = x - 2. Repita: divida os termos líderes, multiplique, subtraia — até o grau do resto atual cair abaixo de 1.

   $$\left(x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6\right) \div \left(x - 2\right)$$
2. 2

   Divisão 1

   Divida o termo líder x^3 pelo termo líder x para obter o próximo termo do quociente x^2; multiplique D(x) por ele e subtraia do resto atual.

   $$\begin{aligned} \frac{1}{1} &= x^{2} \\[4pt] &x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6 \\ -{}&\left(x^{3} - 2x^{2}\right) \\ ={}&-4x^{2} + 11x - 6 \end{aligned}$$

   • x^3 ÷ x = x^2
   • x^3 - 6x^2 + 11x - 6 − (x^3 - 2x^2) = -4x^2 + 11x - 6
3. 3

   Divisão 2

   Divida o termo líder -4x^2 pelo termo líder x para obter o próximo termo do quociente -4x; multiplique D(x) por ele e subtraia do resto atual.

   $$\begin{aligned} \frac{-4}{1} &= -4x \\[4pt] &-4x^{2} + 11x - 6 \\ -{}&\left(-4x^{2} + 8x\right) \\ ={}&3x - 6 \end{aligned}$$

   • -4x^2 ÷ x = -4x
   • -4x^2 + 11x - 6 − (-4x^2 + 8x) = 3x - 6
4. 4

   Divisão 3

   Divida o termo líder 3x pelo termo líder x para obter o próximo termo do quociente 3; multiplique D(x) por ele e subtraia do resto atual.

   $$\begin{aligned} \frac{3}{1} &= 3 \\[4pt] &3x - 6 \\ -{}&\left(3x - 6\right) \\ ={}&0 \end{aligned}$$

   • 3x ÷ x = 3
   • 3x - 6 − (3x - 6) = 0
5. 5

   Resultado

   Quociente Q(x) = x^2 - 4x + 3, resto R(x) = 0.

   $$x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6 = \left(x^{2} - 4x + 3\right) \cdot \left(x - 2\right) + 0$$
6. 6

   O divisor é um fator

   O resto é 0, então x - 2 divide x^3 - 6x^2 + 11x - 6 exatamente — é um fator do dividendo.

   $$x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6 = \left(x^{2} - 4x + 3\right) \cdot \left(x - 2\right)$$
7. 7

   Teorema do resto

   O divisor é linear da forma (x − r) com r = 2. Pelo teorema do resto, o resto é igual a P(2) — aqui 0.

   $$R = P\left(2\right) = 0$$