Estatística Descritiva

Solução passo a passo

1. 1

   Os dados

   7 valores, em ordem crescente.

   $$4, 5, 6, 8, 8, 8, 9$$
2. 2

   Soma e média

   Some todos os valores e depois divida a soma por n = 7. Aproximação decimal: 48/7 ≈ 6.857143.

   $$\begin{aligned} \sum_{i=1}^{7} x_i &= 4 + 5 + 6 + 8 + 8 + 8 + 9 = 48 \\ \mu &= \frac{48}{7} = \frac{48}{7} \end{aligned}$$
3. 3

   Mediana

   Com um número ímpar de valores, a mediana é o valor central — a posição 4 de 7.

   $$\tilde{x} = 8$$
4. 4

   Moda

   O valor 8 aparece 3 vezes — com mais frequência que qualquer outro valor, então é a moda.

   $$\text{mode} = 8$$

   • 8 aparece 3 vezes
5. 5

   Amplitude

   A amplitude é a diferença entre o maior e o menor valor.

   $$R = x_{\max} - x_{\min} = 9 - 4 = 5$$
6. 6

   Variância populacional σ²

   Eleve ao quadrado cada desvio em relação à média, some os desvios ao quadrado e divida por n = 7.

   $$\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu)^2}{n} = \frac{\frac{146}{7}}{7} = \frac{146}{49}$$

   • (4 − 48/7)² = 400/49
   • (5 − 48/7)² = 169/49
   • (6 − 48/7)² = 36/49
   • (8 − 48/7)² = 64/49
   • (8 − 48/7)² = 64/49
   • (8 − 48/7)² = 64/49
   • (9 − 48/7)² = 225/49
7. 7

   Variância amostral s²

   Para uma amostra de uma população maior, dividir por n − 1 = 6 em vez de n (correção de Bessel) dá uma estimativa não tendenciosa da variância populacional.

   $$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu)^2}{n - 1} = \frac{\frac{146}{7}}{6} = \frac{73}{21}$$

   • (4 − 48/7)² = 400/49
   • (5 − 48/7)² = 169/49
   • (6 − 48/7)² = 36/49
   • (8 − 48/7)² = 64/49
   • (8 − 48/7)² = 64/49
   • (8 − 48/7)² = 64/49
   • (9 − 48/7)² = 225/49
8. 8

   Desvios padrão

   O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. Em geral é irracional, então apenas uma aproximação decimal é exibida.

   $$\begin{aligned} \sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{\frac{146}{49}} \approx 1.726149 \\ s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{73}{21}} \approx 1.864454 \end{aligned}$$
9. 9

   Quartis

   Q1 é a mediana da metade inferior (os 3 primeiros valores ordenados) e Q3 a mediana da metade superior (os 3 últimos valores ordenados) — o valor central não pertence a nenhuma das metades.

   $$Q_1 = 5, \qquad Q_3 = 8$$
10. 10

    Resultado

    Média 48/7 ≈ 6.857143, mediana 8, moda 8, desvio padrão populacional σ ≈ 1.726149.

    $$\mu = \frac{48}{7}, \quad \tilde{x} = 8, \quad \sigma^2 = \frac{146}{49}, \quad \text{mode} = 8$$