Distribución hipergeométrica
- P(X = k)
- 385/969≈ 0.397317
- P(X ≤ k)
- 682/969≈ 0.703818
- P(X ≥ k)
- 224/323≈ 0.693498
Cada barra es la probabilidad exacta de ese resultado; las barras más oscuras forman el evento seleccionado. Alterna entre PMF (P(X = k)) y CDF (P(X ≤ k)).
Solución paso a paso
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Fórmula
Para X ~ Hipergeométrica(N, K, n), P(X = k) cuenta las muestras con exactamente k éxitos y divide entre todas las muestras posibles: P(X = k) = C(K, k) · C(N−K, n−k) / C(N, n).
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Sustituir los valores
N = 20, K = 8, n = 5, k = 2. El soporte es 0 ≤ k ≤ 5.
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Elegir los éxitos
C(8, 2) = 28.
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Elegir los fracasos
C(12, 3) = 220.
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Todas las muestras posibles
C(20, 5) = 15504.
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Combinar
P(X = 2) = (28 · 220) / 15504 = 385/969.
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Resultado
P(X = 2) = 385/969
Sobre la distribución hipergeométrica
La distribución hipergeométrica modela el muestreo sin reemplazo: se extraen n elementos de una población de N que contiene K éxitos, y X cuenta los éxitos obtenidos. Como los elementos extraídos no se devuelven, cada extracción cambia las probabilidades de la siguiente, a diferencia de la binomial, donde p es fija.
El soporte es max(0, n + K − N) ≤ k ≤ min(n, K): no se pueden obtener más éxitos de los que existen y, con una muestra suficientemente grande, al menos n − (N − K) éxitos son obligatorios. La media es n · K/N; la varianza es la binomial multiplicada por la corrección de población finita (N − n)/(N − 1), que tiende a 0 cuando la muestra abarca toda la población.
Usos típicos: probabilidades de lotería (6 de 49), control de calidad (defectuosos en una muestra) y juegos de cartas. Regla práctica: cuando la muestra es pequeña frente a la población (n ≤ N/10), la hipergeométrica se aproxima a la binomial Bin(n, K/N).