Distribuição hipergeométrica
- P(X = k)
- 385/969≈ 0.397317
- P(X ≤ k)
- 682/969≈ 0.703818
- P(X ≥ k)
- 224/323≈ 0.693498
Cada barra é a probabilidade exata de um resultado; as barras mais escuras formam o evento selecionado. Alterne entre PMF (P(X = k)) e CDF (P(X ≤ k)).
Solução passo a passo
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Fórmula
Para X ~ Hipergeométrica(N, K, n), P(X = k) conta as amostras com exatamente k sucessos e divide por todas as amostras possíveis: P(X = k) = C(K, k) · C(N−K, n−k) / C(N, n).
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Substituir os valores
N = 20, K = 8, n = 5, k = 2. O suporte é 0 ≤ k ≤ 5.
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Escolher os sucessos
C(8, 2) = 28.
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Escolher os fracassos
C(12, 3) = 220.
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Todas as amostras possíveis
C(20, 5) = 15504.
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Combinar
P(X = 2) = (28 · 220) / 15504 = 385/969.
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Resultado
P(X = 2) = 385/969
Sobre a distribuição hipergeométrica
A distribuição hipergeométrica modela a amostragem sem reposição: retiram-se n itens de uma população de N com K sucessos, e X conta os sucessos obtidos. Como os itens retirados não voltam, cada retirada muda as chances da seguinte — ao contrário da binomial, onde p é fixo.
O suporte é max(0, n + K − N) ≤ k ≤ min(n, K): não é possível obter mais sucessos do que existem e, com amostra grande o bastante, pelo menos n − (N − K) sucessos são obrigatórios. A média é n · K/N; a variância é a da binomial multiplicada pela correção de população finita (N − n)/(N − 1), que vai a 0 quando a amostra cobre toda a população.
Usos típicos: chances de loteria (6 de 49), controle de qualidade (defeitos numa amostra) e jogos de cartas. Regra prática: quando a amostra é pequena perante a população (n ≤ N/10), a hipergeométrica fica próxima da binomial Bin(n, K/N).