矩阵对角化
把 A 写成 P D P⁻¹，其中 D 是对角矩阵（特征值），P 的列是特征向量。当特征值都是有理数时结果精确。
可对角化
A = P D P⁻¹ 见下方。
输入矩阵 A3×3
整数、负数、小数或分数（如 3、-2、1/2）。空格视为 0。
精确结果
所有特征值都是有理数，因此 P、D 和 P⁻¹ 都是精确的。
P（特征向量）
1
0
0
0
1
0
0
0
1
D（特征值）
0
0
0
P⁻¹
1
0
0
0
1
0
0
0
1
A = P · D · P⁻¹
分步解答
- 1
特征多项式
用 Faddeev-LeVerrier 算法计算 p(λ) = det(λI − A)。每个系数都由精确计算的矩阵乘积的迹构造，没有舍入误差。
- p(λ) = λ^3
- 2
搜索有理根
应用有理根定理：每个有理根 p/q（最简形式）满足 p ∣ 常数项、q ∣ 首项系数。找到的根：0 (×3)。
- λ = 0, algebraic multiplicity 3
- 3
λ = 0 的特征空间
用高斯消元解 (A − 0 I)v = 0。代数重数 3，几何重数 3。基：(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)。
- 4
总结
A 可对角化：它的特征向量构成 ℝ^3 的一组基，因此 A = P D P⁻¹。