多项式长除法

分步解答

1. 1

   setup

   用 P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 除以 D(x) = x - 2。不断重复：首项相除、相乘、相减——直到当前余式的次数低于 1。

   $$\left(x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6\right) \div \left(x - 2\right)$$
2. 2

   除法第 1 步

   用首项 x^3 除以首项 x，得到商的下一项 x^2；用它乘 D(x) 并从当前余式中减去。

   $$\begin{aligned} \frac{1}{1} &= x^{2} \\[4pt] &x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6 \\ -{}&\left(x^{3} - 2x^{2}\right) \\ ={}&-4x^{2} + 11x - 6 \end{aligned}$$

   • x^3 ÷ x = x^2
   • x^3 - 6x^2 + 11x - 6 − (x^3 - 2x^2) = -4x^2 + 11x - 6
3. 3

   除法第 2 步

   用首项 -4x^2 除以首项 x，得到商的下一项 -4x；用它乘 D(x) 并从当前余式中减去。

   $$\begin{aligned} \frac{-4}{1} &= -4x \\[4pt] &-4x^{2} + 11x - 6 \\ -{}&\left(-4x^{2} + 8x\right) \\ ={}&3x - 6 \end{aligned}$$

   • -4x^2 ÷ x = -4x
   • -4x^2 + 11x - 6 − (-4x^2 + 8x) = 3x - 6
4. 4

   除法第 3 步

   用首项 3x 除以首项 x，得到商的下一项 3；用它乘 D(x) 并从当前余式中减去。

   $$\begin{aligned} \frac{3}{1} &= 3 \\[4pt] &3x - 6 \\ -{}&\left(3x - 6\right) \\ ={}&0 \end{aligned}$$

   • 3x ÷ x = 3
   • 3x - 6 − (3x - 6) = 0
5. 5

   结果

   商 Q(x) = x^2 - 4x + 3，余式 R(x) = 0。

   $$x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6 = \left(x^{2} - 4x + 3\right) \cdot \left(x - 2\right) + 0$$
6. 6

   除式是一个因式

   余式为 0，所以 x - 2 整除 x^3 - 6x^2 + 11x - 6——它是被除式的一个因式。

   $$x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6 = \left(x^{2} - 4x + 3\right) \cdot \left(x - 2\right)$$
7. 7

   余式定理

   除式是形如 (x − r) 的一次式，其中 r = 2。根据余式定理，余式等于 P(2)——此处为 0。

   $$R = P\left(2\right) = 0$$