描述统计

分步解答

1. 1

   数据

   7 个数值，已按升序排列。

   $$4, 5, 6, 8, 8, 8, 9$$
2. 2

   求和与均值

   把所有数值相加，再将和除以 n = 7。小数近似：48/7 ≈ 6.857143。

   $$\begin{aligned} \sum_{i=1}^{7} x_i &= 4 + 5 + 6 + 8 + 8 + 8 + 9 = 48 \\ \mu &= \frac{48}{7} = \frac{48}{7} \end{aligned}$$
3. 3

   中位数

   数值个数为奇数时，中位数是正中间的值——第 4 个（共 7 个）。

   $$\tilde{x} = 8$$
4. 4

   众数

   数值 8 出现了 3 次——比其他任何数值都频繁，因此它是众数。

   $$\text{mode} = 8$$

   • 8 出现 3 次
5. 5

   极差

   极差是最大值与最小值之差。

   $$R = x_{\max} - x_{\min} = 9 - 4 = 5$$
6. 6

   总体方差 σ²

   将每个与均值的偏差平方，把平方后的偏差相加，再除以 n = 7。

   $$\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu)^2}{n} = \frac{\frac{146}{7}}{7} = \frac{146}{49}$$

   • (4 − 48/7)² = 400/49
   • (5 − 48/7)² = 169/49
   • (6 − 48/7)² = 36/49
   • (8 − 48/7)² = 64/49
   • (8 − 48/7)² = 64/49
   • (8 − 48/7)² = 64/49
   • (9 − 48/7)² = 225/49
7. 7

   样本方差 s²

   对于来自更大总体的样本，除以 n − 1 = 6 而不是 n（贝塞尔校正），可给出总体方差的无偏估计。

   $$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu)^2}{n - 1} = \frac{\frac{146}{7}}{6} = \frac{73}{21}$$

   • (4 − 48/7)² = 400/49
   • (5 − 48/7)² = 169/49
   • (6 − 48/7)² = 36/49
   • (8 − 48/7)² = 64/49
   • (8 − 48/7)² = 64/49
   • (8 − 48/7)² = 64/49
   • (9 − 48/7)² = 225/49
8. 8

   标准差

   标准差是方差的平方根。它通常是无理数，因此只显示小数近似值。

   $$\begin{aligned} \sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{\frac{146}{49}} \approx 1.726149 \\ s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{73}{21}} \approx 1.864454 \end{aligned}$$
9. 9

   四分位数

   Q1 是下半部分（排序后前 3 个值）的中位数，Q3 是上半部分（排序后后 3 个值）的中位数——正中间的值不属于任何一半。

   $$Q_1 = 5, \qquad Q_3 = 8$$
10. 10

    结果

    均值 48/7 ≈ 6.857143，中位数 8，众数 8，总体标准差 σ ≈ 1.726149。

    $$\mu = \frac{48}{7}, \quad \tilde{x} = 8, \quad \sigma^2 = \frac{146}{49}, \quad \text{mode} = 8$$