数列与级数

分步解答

1. 1

   数列

   首项为 a₁ = 3、公差为 d = 5/2 的等差数列：每一项等于前一项加上 d。

   $$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$$
2. 2

   前几项

   对 k = 1, …, 5 应用 a_k = a_1 + (k − 1)·d：

   • a₁ = 3
   • a₂ = 11/2
   • a₃ = 8
   • a₄ = 21/2
   • a₅ = 13
3. 3

   第 n 项

   将 n = 10 代入公式：

   $$a_{10} = 3 + (10 - 1) \cdot \frac{5}{2} = \frac{51}{2}$$
4. 4

   部分和

   把前 10 项相加。将首项与末项配对（高斯技巧）可知，和等于项数乘以首末两项的平均值。

   $$\begin{aligned} S_n &= \frac{n(a_1 + a_n)}{2} \\ S_{10} &= \frac{10 \cdot (3 + \frac{51}{2})}{2} = \frac{285}{2} \end{aligned}$$
5. 5

   结果

   a₁₀ = 51/2 且 S₁₀ = 285/2——两者都是精确分数。

   $$a_{10} = \frac{51}{2}, \qquad S_{10} = \frac{285}{2}$$