复利计算器

分步解答

1. 1

   确认输入

   复利会把每期收益加入余额，让下一期利滚利。输入如下。

   $$A = P \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$$

   • P = 1000
   • r = 5%
   • t = 10
   • n = 1
2. 2

   把年利率化为分数

   年利率 5% 化为精确分数 1/20。下面的周期计算全程使用分数。

   $$5\% = \frac{5}{100} = \frac{1}{20}$$
3. 3

   每期利率与增长基数

   每年复利 1 次，每期按精确利率 i = 1/20 计息，增长基数为 B = 1 + i。

   $$i = \frac{r}{n} = \frac{1}{20}, \qquad B = 1 + i = \frac{21}{20}$$
4. 4

   计算复利期数

   每年 1 期、共 10 年，总计 N = 10 个复利期。

   $$N = n \cdot t = 1 \cdot 10 = 10$$
5. 5

   本金增长

   幂 B^N 用 BigInt 分子分母精确展开 — 无浮点舍入 — 本金增长后约为 1,628.89。

   $$A_P = P \cdot B^{N} = 1000 \cdot \left(\frac{21}{20}\right)^{10} \approx 1628.89$$
6. 6

   总金额

   最终金额为增长后的本金加上增长后的供款：约 1,628.89。

   $$A = A_P \approx 1628.89$$
7. 7

   所得利息

   扣除全部投入即为收益：本金 1,000.00、供款 0.00，利息约 628.89。

   $$\text{interest} = A - P \approx 628.89$$
8. 8

   有效年利率

   复利频率高于每年一次会超过名义利率。等效的单次年增长为 EAR = B^n − 1，以分数精确计算 — 约为每年 5%。

   $$\text{EAR} = B^{n} - 1 = \left(\frac{21}{20}\right)^{1} - 1 \approx 5\%$$

   • EAR = 1/20 ≈ 5%
9. 9

   翻倍时间

   用对数解 B^(n·t) = 2 得翻倍时间：约 14.21 年。72 法则（72 除以百分数利率）估算为 14.4 年。

   $$t_{\text{double}} = \frac{\ln 2}{n \cdot \ln B} = \frac{\ln 2}{1 \cdot \ln\left(\frac{21}{20}\right)} \approx 14.21$$

   • 72 / 5 ≈ 14.4