求导与积分

已计算

结果和逐项演算过程见下方。

多项式 f(x)

次数 3

f(x) = x^3 + 2x + 3

系数(按升幂排列 — 最左侧为常数项):

x^0

x^1

x^2

x^3

每个方框是 x^i 的系数。整数、小数或分数皆可。

d/dx

= 3x^2 + 2

图像

f(x) f′(x)

分步解答

1
对多项式求导
对 x^3 + 2x + 3 应用幂法则 d/dx [a·x^n] = n·a·x^(n-1)。
$\frac{d}{dx}\left[x^{3} + 2x + 3\right]$
2
常数项的导数
d/dx [3] = 0 （常数项消失）
$\frac{d}{dx}\left[3\right] = 0$
3
对 1 次项应用幂法则
$\frac{d}{dx}\left[2x\right] = 1 \cdot 2 = 2$
- d/dx [2·x] = 1·2·x^0 = 2
4
对 3 次项应用幂法则
$\frac{d}{dx}\left[x^{3}\right] = 3 \cdot x^{2} = 3x^{2}$
- d/dx [1·x^3] = 3·1·x^2 = 3·x^2
5
结果
d/dx [x^3 + 2x + 3] = 3x^2 + 2
$f'(x) = 3x^{2} + 2$

关于导数与积分

导数度量瞬时变化率。对多项式,幂法则就能完成全部工作:a·xⁿ 的导数是 n·a·xⁿ⁻¹,逐项应用即可。

积分是它的逆过程 — a·xⁿ 积分为 a·xⁿ⁺¹/(n+1) — 定积分则通过微积分基本定理 F(b) − F(a) 计算曲线与 x 轴之间的带符号面积。

由于这里全是对精确分数的多项式代数,结果是符号化且精确的 — 不是数值差商或数值积分近似。