特征值与特征向量

分步解答

1. 1

   特征多项式

   用 Faddeev-LeVerrier 算法计算 p(λ) = det(λI − A)。每个系数都由精确计算的矩阵乘积的迹构造，没有舍入误差。

   $$p(\lambda) = \lambda^{3}$$

   • p(λ) = λ^3
2. 2

   搜索有理根

   应用有理根定理：每个有理根 p/q（最简形式）满足 p ∣ 常数项、q ∣ 首项系数。找到的根：0 (×3)。

   • λ = 0, algebraic multiplicity 3
3. 3

   λ = 0 的特征空间

   用高斯消元解 (A − 0 I)v = 0。代数重数 3，几何重数 3。基：(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)。

   $$(A - \lambda I)\,v = 0$$
4. 4

   总结

   A 可对角化：它的特征向量构成 ℝ^3 的一组基，因此 A = P D P⁻¹。