线性方程组

分步解答

1. 1

   建立增广矩阵

   把 3 个方程、3 个未知数写成一个分块矩阵 [A ∣ b]；最后一列是右端项。

   1

   1

   1

   6

   2

   -1

   1

   3

   1

   2

   -1

   2
2. 2

   部分选主元：交换 R1 ↔ R2

   把第 1 列中绝对值最大的元素移到第 1 行，作为主元。

   $$R_{1} \leftrightarrow R_{2}$$

   2

   -1

   1

   3

   1

   1

   1

   6

   1

   2

   -1

   2
3. 3

   归一化 R1

   将第 1 行除以 2，使主元变为 1。

   $$R_{1} \to \frac{1}{2}\,R_{1}$$

   1

   -1/2

   1/2

   3/2

   1

   1

   1

   6

   1

   2

   -1

   2
4. 4

   清除第 1 列

   R2 → R2 − (1)·R1 · R3 → R3 − (1)·R1

   $$R_{2} \to R_{2} - R_{1} \\ R_{3} \to R_{3} - R_{1}$$

   1

   -1/2

   1/2

   3/2

   0

   3/2

   1/2

   9/2

   0

   5/2

   -3/2

   1/2
5. 5

   部分选主元：交换 R2 ↔ R3

   把第 2 列中绝对值最大的元素移到第 2 行，作为主元。

   $$R_{2} \leftrightarrow R_{3}$$

   1

   -1/2

   1/2

   3/2

   0

   5/2

   -3/2

   1/2

   0

   3/2

   1/2

   9/2
6. 6

   归一化 R2

   将第 2 行除以 5/2，使主元变为 1。

   $$R_{2} \to \frac{1}{\frac{5}{2}}\,R_{2}$$

   1

   -1/2

   1/2

   3/2

   0

   1

   -3/5

   1/5

   0

   3/2

   1/2

   9/2
7. 7

   清除第 2 列

   R1 → R1 − (-1/2)·R2 · R3 → R3 − (3/2)·R2

   $$R_{1} \to R_{1} + \frac{1}{2}\,R_{2} \\ R_{3} \to R_{3} - \frac{3}{2}\,R_{2}$$

   1

   0

   1/5

   8/5

   0

   1

   -3/5

   1/5

   0

   0

   7/5

   21/5
8. 8

   归一化 R3

   将第 3 行除以 7/5，使主元变为 1。

   $$R_{3} \to \frac{1}{\frac{7}{5}}\,R_{3}$$

   1

   0

   1/5

   8/5

   0

   1

   -3/5

   1/5

   0

   0

   1

   3
9. 9

   清除第 3 列

   R1 → R1 − (1/5)·R3 · R2 → R2 − (-3/5)·R3

   $$R_{1} \to R_{1} - \frac{1}{5}\,R_{3} \\ R_{2} \to R_{2} + \frac{3}{5}\,R_{3}$$

   1

   0

   0

   1

   0

   1

   0

   2

   0

   0

   1

   3
10. 10

    读出解

    左半部分是单位矩阵，每一行直接给出一个变量。

    $$\begin{aligned} x_{1} = 1 \\ x_{2} = 2 \\ x_{3} = 3 \end{aligned}$$

    1

    0

    0

    1

    0

    1

    0

    2

    0

    0

    1

    3
11. 11

    结果

    x₁ = 1, x₂ = 2, x₃ = 3