⌘K

超几何分布

不放回抽样下精确计算 P(X = k)、P(X ≤ k) 与 P(X ≥ k)，附均值、方差以及实时更新的图表。

概率、图表与步骤会实时更新。

结果P(X = k)

385/969≈ 0.397317

分布（N = 20，K = 8，n = 5）

k=0

33/646

k=1

165/646

k=2

385/969

k=3

77/323

k=4

35/646

k=5

7/1938

每个柱条表示该结果的精确概率；深色柱条构成所选事件。可在 PMF（P(X = k)）与 CDF（P(X ≤ k)）之间切换。

1
公式
对于 X ~ 超几何(N, K, n)，P(X = k) 统计恰含 k 个成功的样本数并除以所有可能的样本数：P(X = k) = C(K, k) · C(N−K, n−k) / C(N, n)。
$P(X = k) = \frac{\binom{K}{k}\,\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$
2
代入数值
N = 20，K = 8，n = 5，k = 2。取值范围为 0 ≤ k ≤ 5。
3
选出成功项
C(8, 2) = 28.
4
选出失败项
C(12, 3) = 220.
5
所有可能的样本
C(20, 5) = 15504.
6
合并
P(X = 2) = (28 · 220) / 15504 = 385/969.
$P(X = 2) = \frac{28 \cdot 220}{15504} = \frac{385}{969}$
7
结果
P(X = 2) = 385/969

超几何分布描述不放回抽样：从含 K 个成功项、总数为 N 的总体中抽取 n 个，X 统计抽到的成功数。由于抽出的物品不放回，每一次抽取都会改变下一次的几率——这与成功概率 p 固定的二项分布不同。

取值范围为 max(0, n + K − N) ≤ k ≤ min(n, K)：成功数不可能超过现有的数量，而当样本足够大时至少会强制出现 n − (N − K) 个成功项。均值是 n · K/N；方差是二项方差乘以有限总体校正 (N − n)/(N − 1)，当样本覆盖整个总体时趋于 0。

典型应用：彩票中奖概率（49 选 6）、质量抽检（样本中的次品数）以及扑克牌游戏。经验法则：当样本相对总体很小（n ≤ N/10）时，超几何分布接近二项分布 Bin(n, K/N)。

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