対角化
A を P D P⁻¹ と表します。D は対角（固有値）、P の列は固有ベクトル。固有値が有理数のとき正確に計算できます。
対角化可能
A = P D P⁻¹ が下に表示されています。
入力行列 A3×3
整数、負の数、小数、分数（例: 3、-2、1/2）。空欄は 0 として扱われます。
正確な結果
すべての固有値が有理数のため、P、D、P⁻¹ は正確です。
P（固有ベクトル）
1
0
0
0
1
0
0
0
1
D（固有値）
0
0
0
P⁻¹
1
0
0
0
1
0
0
0
1
A = P · D · P⁻¹
段階的な解答
- 1
特性多項式
Faddeev-LeVerrier アルゴリズムで p(λ) = det(λI − A) を計算します。各係数は厳密に計算された行列積のトレースから作られるため、丸め誤差がありません。
- p(λ) = λ^3
- 2
有理根を探す
有理根定理を適用します：有理根 p/q（既約）は p ∣ 定数項、q ∣ 最高次係数を満たします。見つかった根：0 (×3)。
- λ = 0, algebraic multiplicity 3
- 3
λ = 0 の固有空間
ガウス消去法で (A − 0 I)v = 0 を解きます。代数的重複度 3、幾何的重複度 3。基底：(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)。
- 4
まとめ
A は対角化可能です。固有ベクトルが ℝ^3 の基底をなすため、A = P D P⁻¹ です。