記述統計

段階的な解答

1. 1

   データ

   7 個の値を昇順に並べています。

   $$4, 5, 6, 8, 8, 8, 9$$
2. 2

   和と平均

   すべての値を合計し、その和を n = 7 で割ります。小数近似：48/7 ≈ 6.857143。

   $$\begin{aligned} \sum_{i=1}^{7} x_i &= 4 + 5 + 6 + 8 + 8 + 8 + 9 = 48 \\ \mu &= \frac{48}{7} = \frac{48}{7} \end{aligned}$$
3. 3

   中央値

   値の個数が奇数のとき、中央値は真ん中の値です — 7 個中 4 番目。

   $$\tilde{x} = 8$$
4. 4

   最頻値

   値 8 は 3 回現れます — 他のどの値より多いため、これが最頻値です。

   $$\text{mode} = 8$$

   • 8 は 3 回出現
5. 5

   範囲

   範囲とは最大値と最小値の差です。

   $$R = x_{\max} - x_{\min} = 9 - 4 = 5$$
6. 6

   母分散 σ²

   平均からの偏差をそれぞれ 2 乗し、その 2 乗を合計して n = 7 で割ります。

   $$\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu)^2}{n} = \frac{\frac{146}{7}}{7} = \frac{146}{49}$$

   • (4 − 48/7)² = 400/49
   • (5 − 48/7)² = 169/49
   • (6 − 48/7)² = 36/49
   • (8 − 48/7)² = 64/49
   • (8 − 48/7)² = 64/49
   • (8 − 48/7)² = 64/49
   • (9 − 48/7)² = 225/49
7. 7

   標本分散 s²

   より大きな母集団からの標本では、n ではなく n − 1 = 6 で割る（ベッセルの補正）ことで、母分散の偏りのない推定量が得られます。

   $$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu)^2}{n - 1} = \frac{\frac{146}{7}}{6} = \frac{73}{21}$$

   • (4 − 48/7)² = 400/49
   • (5 − 48/7)² = 169/49
   • (6 − 48/7)² = 36/49
   • (8 − 48/7)² = 64/49
   • (8 − 48/7)² = 64/49
   • (8 − 48/7)² = 64/49
   • (9 − 48/7)² = 225/49
8. 8

   標準偏差

   標準偏差は分散の平方根です。一般に無理数となるため、小数の近似値のみ表示しています。

   $$\begin{aligned} \sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{\frac{146}{49}} \approx 1.726149 \\ s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{73}{21}} \approx 1.864454 \end{aligned}$$
9. 9

   四分位数

   Q1 は下半分（並べ替えた先頭の 3 個）の中央値、Q3 は上半分（並べ替えた末尾の 3 個）の中央値です — 真ん中の値はどちらの半分にも属しません。

   $$Q_1 = 5, \qquad Q_3 = 8$$
10. 10

    結果

    平均 48/7 ≈ 6.857143、中央値 8、最頻値 8、母集団の標準偏差 σ ≈ 1.726149。

    $$\mu = \frac{48}{7}, \quad \tilde{x} = 8, \quad \sigma^2 = \frac{146}{49}, \quad \text{mode} = 8$$