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正規分布計算機

X ~ N(μ, σ²) について P(X ≤ x)、P(X ≥ x)、P(a ≤ X ≤ b) を計算したり、確率 p から x を逆算します。z 値は正確な分数のまま、確率は数値近似で求め、すべての手順を表示します。

計算済み

確率とすべての計算過程を以下に表示します。

結果数値

確率

0.908789

値の 90.8789%

z 値: z = 4/3正確 ≈ 1.333333数値

N(100, 15²) では、約 90.8789% の値が 120 未満です。

グラフ

1
z 値に標準化
x = 120 から平均 μ = 100 を引き、標準偏差 σ = 15 で割ります。入力はすべて有理数なので、z 値は正確な分数になります:z = 4/3 ≈ 1.333333。
$z = \frac{x - \mu}{\sigma} = \frac{120 - 100}{15} = \frac{4}{3} \approx 1.333333$
2
Φ(z) を求める
Φ(z) = ½·(1 + erf(z/√2)) は初等関数での閉じた形を持たないため、誤差関数の数値近似を使います:Φ(1.333333) ≈ 0.908789。
$\Phi\left(\frac{4}{3}\right) \approx 0.908789$
3
結果を解釈する
N(100, 15²) の値の約 90.8789% は x = 120 未満です。
$P(X < 120) \approx 0.908789 \; (90.8789\%)$
4
結果
X ~ N(100, 15²) のとき P(X ≤ 120) ≈ 0.908789、つまり約 90.8789%。
$P(X < 120) \approx 0.908789$

正規分布(ガウス分布)は代表的なベル型曲線で、平均 μ(中心)と標準偏差 σ(ばらつき)だけで完全に決まります。身長・テストの点数・測定誤差などは近似的にこれに従います。

確率の質問はすべて標準化で答えます:z 値 z = (x − μ)/σ は x が平均から標準偏差何個分かを測り、標準正規分布(ここでは数値的な誤差関数)が z を確率に変えます。

経験則:約 68% が平均から 1σ 以内、95% が 2σ 以内、99.7% が 3σ 以内に入ります。z 値は正確な分数のまま、確率は小数点以下多くの桁まで正確な数値近似です。

線形代数・微分積分・確率・進数変換のための無料オンライン数学ツール。可能な限り正確な分数で計算し、計算過程をすべて表示します。