特異値分解

仕組み

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   特異値分解（A = U Σ Vᵀ）

   入力は 3×2。片側ヤコビ回転で A の列ペアを直交化します。

   • 目標：A = U Σ Vᵀ と分解する。U（m×r）と V（n×r）は正規直交列をもち、Σ は非負の特異値の対角行列です。
   • 方法：片側ヤコビ法 — すべての列ペアが直交するまで、A の列ペア (i, j) を繰り返し回転します。
   • 収束後：σₖ = ‖(回転後の A)ₖ‖、Uₖ = (回転後の A)ₖ / σₖ、V は回転を蓄積します。
2. 2

   収束

   ヤコビ法は 1 回の掃き出しと 0 回の回転で収束しました。すべての列ペアが許容誤差内で直交しています。

   • Per-pair skip rule: |γ| ≤ 1e-12 · √(αβ), where α = ‖Bᵢ‖², β = ‖Bⱼ‖², γ = 2·Bᵢ·Bⱼ.
   • Jacobi angle: ζ = (β − α) / γ, t = sign(ζ) / (|ζ| + √(1 + ζ²)), c = 1/√(1+t²), s = t·c.
   • Each rotation [[c, s], [−s, c]] is applied to columns i, j of both B and V.
3. 3

   特異値とランク

   2 個の特異値が見つかりました。ランク = 0。

   • σ = [0, 0]
   • 各 σₖ は回転後の A の列ノルムで、降順に並べてあります。
   • 2 個の特異値がランク許容誤差 1e-9 未満です（数値的にゼロ）。
4. 4

   再構成の検証

   ‖A − U Σ Vᵀ‖_F ≈ 0.000e+0（数値精度の範囲でほぼ 0 のはずです）。

   • U (3×2):
   • [ 0, 0 ] [ 0, 0 ] [ 0, 0 ]
   • Σ (diagonal): [0, 0]
   • V (2×2):
   • [ 1, 0 ] [ 0, 1 ]