連立一次方程式

段階的な解答

1. 1

   拡大行列を組む

   3 個の方程式・3 個の未知数をブロック行列 [A ∣ b] として書きます。最後の列が右辺です。

   1

   1

   1

   6

   2

   -1

   1

   3

   1

   2

   -1

   2
2. 2

   部分ピボット選択：R1 ↔ R2 を交換

   列 1 で絶対値最大の成分を行 1 に移し、ピボットとして使います。

   $$R_{1} \leftrightarrow R_{2}$$

   2

   -1

   1

   3

   1

   1

   1

   6

   1

   2

   -1

   2
3. 3

   R1 を正規化

   行 1 を 2 で割ってピボットを 1 にします。

   $$R_{1} \to \frac{1}{2}\,R_{1}$$

   1

   -1/2

   1/2

   3/2

   1

   1

   1

   6

   1

   2

   -1

   2
4. 4

   列 1 を掃出す

   R2 → R2 − (1)·R1 · R3 → R3 − (1)·R1

   $$R_{2} \to R_{2} - R_{1} \\ R_{3} \to R_{3} - R_{1}$$

   1

   -1/2

   1/2

   3/2

   0

   3/2

   1/2

   9/2

   0

   5/2

   -3/2

   1/2
5. 5

   部分ピボット選択：R2 ↔ R3 を交換

   列 2 で絶対値最大の成分を行 2 に移し、ピボットとして使います。

   $$R_{2} \leftrightarrow R_{3}$$

   1

   -1/2

   1/2

   3/2

   0

   5/2

   -3/2

   1/2

   0

   3/2

   1/2

   9/2
6. 6

   R2 を正規化

   行 2 を 5/2 で割ってピボットを 1 にします。

   $$R_{2} \to \frac{1}{\frac{5}{2}}\,R_{2}$$

   1

   -1/2

   1/2

   3/2

   0

   1

   -3/5

   1/5

   0

   3/2

   1/2

   9/2
7. 7

   列 2 を掃出す

   R1 → R1 − (-1/2)·R2 · R3 → R3 − (3/2)·R2

   $$R_{1} \to R_{1} + \frac{1}{2}\,R_{2} \\ R_{3} \to R_{3} - \frac{3}{2}\,R_{2}$$

   1

   0

   1/5

   8/5

   0

   1

   -3/5

   1/5

   0

   0

   7/5

   21/5
8. 8

   R3 を正規化

   行 3 を 7/5 で割ってピボットを 1 にします。

   $$R_{3} \to \frac{1}{\frac{7}{5}}\,R_{3}$$

   1

   0

   1/5

   8/5

   0

   1

   -3/5

   1/5

   0

   0

   1

   3
9. 9

   列 3 を掃出す

   R1 → R1 − (1/5)·R3 · R2 → R2 − (-3/5)·R3

   $$R_{1} \to R_{1} - \frac{1}{5}\,R_{3} \\ R_{2} \to R_{2} + \frac{3}{5}\,R_{3}$$

   1

   0

   0

   1

   0

   1

   0

   2

   0

   0

   1

   3
10. 10

    解を読み取る

    左半分が単位行列なので、各行が変数を1つずつ直接与えます。

    $$\begin{aligned} x_{1} = 1 \\ x_{2} = 2 \\ x_{3} = 3 \end{aligned}$$

    1

    0

    0

    1

    0

    1

    0

    2

    0

    0

    1

    3
11. 11

    結果

    x₁ = 1, x₂ = 2, x₃ = 3