数列と級数

段階的な解答

1. 1

   数列

   初項 a₁ = 3、公差 d = 5/2 の等差数列：各項は直前の項に d を加えたものです。

   $$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$$
2. 2

   最初の数項

   k = 1, …, 5 について a_k = a_1 + (k − 1)·d を適用します：

   • a₁ = 3
   • a₂ = 11/2
   • a₃ = 8
   • a₄ = 21/2
   • a₅ = 13
3. 3

   第 n 項

   公式に n = 10 を代入します：

   $$a_{10} = 3 + (10 - 1) \cdot \frac{5}{2} = \frac{51}{2}$$
4. 4

   部分和

   先頭の 10 項を合計します。最初の項と最後の項をペアにする（ガウスの方法）と、和は項数に最初と最後の平均を掛けたものに等しいことが分かります。

   $$\begin{aligned} S_n &= \frac{n(a_1 + a_n)}{2} \\ S_{10} &= \frac{10 \cdot (3 + \frac{51}{2})}{2} = \frac{285}{2} \end{aligned}$$
5. 5

   結果

   a₁₀ = 51/2 および S₁₀ = 285/2 — どちらも正確な分数です。

   $$a_{10} = \frac{51}{2}, \qquad S_{10} = \frac{285}{2}$$