複利計算機

段階的な解答

1. 1

   入力を確認する

   複利では毎期の運用益が残高に加算され、次の期は利息に利息がつきます。入力は以下のとおりです。

   $$A = P \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$$

   • P = 1000
   • r = 5%
   • t = 10
   • n = 1
2. 2

   年利率を分数にする

   年利率 5% は厳密な分数 1/20 になります。以降の定期計算はすべて分数のまま進めます。

   $$5\% = \frac{5}{100} = \frac{1}{20}$$
3. 3

   期ごとの利率と成長基準

   年 1 回の複利では、各期に厳密な期利率 i = 1/20 が適用されます。成長基準は B = 1 + i です。

   $$i = \frac{r}{n} = \frac{1}{20}, \qquad B = 1 + i = \frac{21}{20}$$
4. 4

   複利期数を数える

   年 1 回 × 10 年で、複利期数は合計 N = 10 です。

   $$N = n \cdot t = 1 \cdot 10 = 10$$
5. 5

   元本を増やす

   累乗 B^N は BigInt の分子・分母として厳密に展開されます — 浮動小数点の丸めはありません — 成長後の元本は約 1,628.89 です。

   $$A_P = P \cdot B^{N} = 1000 \cdot \left(\frac{21}{20}\right)^{10} \approx 1628.89$$
6. 6

   合計金額

   最終金額は成長した元本と成長した積立の合計で、約 1,628.89 です。

   $$A = A_P \approx 1628.89$$
7. 7

   得られた利息

   投入額全体を引いた分が運用益です：元本 1,000.00 と積立 0.00 に対し、利息は約 628.89 です。

   $$\text{interest} = A - P \approx 628.89$$
8. 8

   実質年率

   年1回より頻繁に複利すると名目利率を上回ります。同等の年1回の成長が EAR = B^n − 1 で、分数として厳密に計算され、約 5%/年です。

   $$\text{EAR} = B^{n} - 1 = \left(\frac{21}{20}\right)^{1} - 1 \approx 5\%$$

   • EAR = 1/20 ≈ 5%
9. 9

   倍増期間

   B^(n·t) = 2 を対数で解くと倍増期間が得られます：約 14.21 年。72の法則（72 ÷ パーセント利率）なら 14.4 年と見積もられます。

   $$t_{\text{double}} = \frac{\ln 2}{n \cdot \ln B} = \frac{\ln 2}{1 \cdot \ln\left(\frac{21}{20}\right)} \approx 14.21$$

   • 72 / 5 ≈ 14.4