多項式の割り算

段階的な解答

1. 1

   準備

   P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 を D(x) = x - 2 で割ります。繰り返します：最高次項同士を割り、掛けて、引きます — 現在の余りの次数が 1 未満になるまで。

   $$\left(x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6\right) \div \left(x - 2\right)$$
2. 2

   割り算ステップ 1

   最高次項 x^3 を最高次項 x で割って次の商の項 x^2 を得ます。それに D(x) を掛けて現在の余りから引きます。

   $$\begin{aligned} \frac{1}{1} &= x^{2} \\[4pt] &x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6 \\ -{}&\left(x^{3} - 2x^{2}\right) \\ ={}&-4x^{2} + 11x - 6 \end{aligned}$$

   • x^3 ÷ x = x^2
   • x^3 - 6x^2 + 11x - 6 − (x^3 - 2x^2) = -4x^2 + 11x - 6
3. 3

   割り算ステップ 2

   最高次項 -4x^2 を最高次項 x で割って次の商の項 -4x を得ます。それに D(x) を掛けて現在の余りから引きます。

   $$\begin{aligned} \frac{-4}{1} &= -4x \\[4pt] &-4x^{2} + 11x - 6 \\ -{}&\left(-4x^{2} + 8x\right) \\ ={}&3x - 6 \end{aligned}$$

   • -4x^2 ÷ x = -4x
   • -4x^2 + 11x - 6 − (-4x^2 + 8x) = 3x - 6
4. 4

   割り算ステップ 3

   最高次項 3x を最高次項 x で割って次の商の項 3 を得ます。それに D(x) を掛けて現在の余りから引きます。

   $$\begin{aligned} \frac{3}{1} &= 3 \\[4pt] &3x - 6 \\ -{}&\left(3x - 6\right) \\ ={}&0 \end{aligned}$$

   • 3x ÷ x = 3
   • 3x - 6 − (3x - 6) = 0
5. 5

   結果

   商 Q(x) = x^2 - 4x + 3、余り R(x) = 0。

   $$x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6 = \left(x^{2} - 4x + 3\right) \cdot \left(x - 2\right) + 0$$
6. 6

   割る多項式は因数

   余りが 0 なので、x - 2 は x^3 - 6x^2 + 11x - 6 を割り切ります — 割られる多項式の因数です。

   $$x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6 = \left(x^{2} - 4x + 3\right) \cdot \left(x - 2\right)$$
7. 7

   剰余の定理

   割る多項式は (x − r) の形の一次式で、r = 2 です。剰余の定理により、余りは P(2) に等しく — ここでは 0 です。

   $$R = P\left(2\right) = 0$$